Demostraciones Del Teorema De Pitagoras

Demostraciones del teorema de Pitágoras
Primera Demostración:
Veamos este trapecio:
El área de un trapecio esta dada por :
" el producto de la semi-suma de las bases por la altura"
por lo tanto el área es : (a+b)/2 * (a+b) = (a+b)2/2 = a2/2 + ab + b2/2
Pero esta área también está dada por la suma de las áreas de los 3 triángulos :
ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab + c2/2
Entonces : ab + c2/2 = a2/2+ ab + b2/2
Luego, c2/2= b2 /2 + a2/2
Y por último: c2 = a2 + b2
Segunda Demostración:
Veamos estas figuras:

- Tenemos que el area del cuadrado grande es (a + b)²
- Además el area del cuadrado chico es c²
- Y el area de cada triangulo formado es de ab /2 ( por lo que el area de los cuatro triángulos es de 2ab)
Y asi nos quedará :
(a + b) ² = c² + 2ab
Luego:
a² + 2ab + b² = c² +2ab
a² + b² = c²
Tercera Demostración:
Veamos esta figura:
Además, tomemos en cuenta el teorema de la tangente:
Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (Teorema de la tangente).
Luego, tenemos por otro teorema que:
(c + a)(c - a) = b²
c² - a² = b²
a² + b² = c²
Cuarta Demostración:
Veamos esta figura:
“Si en el triángulo rectángulose traza la altura correspondiente a la hipotenusa, ca-da cateto es media proporcional entre la hipotenusa "c" y la proyección sobre ella.”
a = p a² = cp
c a
b = q b² = cq
c b
a² = cp
b² = cq
a² + b² = cp + cq
a² + b² = c(p + q)
a² + b² = c²
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1. DEMOSTRACIÓN DE PITÁGORAS (S. VI a.C.)
Pitágoras había viajado a la antigua Babilonia  y a Egipto donde posiblemente conoció lapropiedad que verifican los lados de un triángulo rectángulo.

En una tablilla de arcilla procedente de Babilonia conocida por PLIMPTON 322 y fechada en el 1900 a.C. aparecen, colocadas en columnas, ternas de números que verifican el teorema de Pitágoras son las llamadas "TERNAS PITAGÓRICAS".

Un cuadrado de lado  b+c  se divide en dos cuadrados de lados b y c y en cuatro triángulos rectángulos decatetos b y c e hipotenusa a.
Por tanto igualando las dos áreas obtenemos:

2. ROMPECABEZAS DE PERIGAL
A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a, se hace una partición del cuadrado de lado b de la siguiente forma: por el centro del cuadrado se trazan dos segmentos, uno paralelo a la hipotenusa y el otro perpendicular a ella. Obteniéndose así cuatro piezas que juntoal cuadrado de lado c  encajan perfectamente en el cuadrado de lado a.

3. DEMOSTRACIÓN DE BHÂSKARA (1114-1185)
El matemático hindú Bhâskara reconstruyó la demostración del teorema de Pitágoras que aparece en un diagrama de la Aritmética Clásica China, en el que se representa la más antigua demostración del teorema, admirada por su elegancia. Bhâskara expuso esta demostración en su libroVijaganita sin añadir más comentarios que el de “observe”.
A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a se ha hecho una partición en cinco partes: cuatro de estas partes son triángulos rectángulos iguales al de partida y la otra es un cuadrado de lado (b-c).  

Por tanto igualando las dos expresiones se obtiene:

En el cuadrado superior tenemos:
En la figurainferior tenemos:

4. ROMPECABEZAS DE OZANAM
Las cinco piezas que componen este rompecabezas se obtienen de cortar los dos cuadrados construidos sobre los catetos. Se colocan los cuadrados de lados b y c. Se consideran dos cuadrados equivalentes al de lado c situados inferiormente como muestra la figura anexa. Se trazan dos segmentos de medida a  y perpendiculares por P.

Estos segmentos al cortara los lados de los cuadrados determinan las cinco piezas que encajan para formar el cuadrado construido sobre la hipotenusa.  

5. ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS
En cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos se traza una diagonal y por los otros dos vértices del cuadrado se trazan segmentos paralelos a la hipotenusa, determinándose así cuatro partes en cada uno de los cuadrados,...