teoremas y demostraciones

 Resumen de Teoremas y propiedades de Análisis Matemático
(Pueden estar faltando algunos teoremas o propiedades. Se ha elegido un conjunto de propiedades de las más importantes, y sobre todoaquellas en las que hemos trabajado con sus correspondientes demostraciones).

Límites

Teorema
Dadas dos funciones f y g tales que (con l1 y l2 )
Entonces
a)
b)
c) Si l2 ≠ 0, entonces(Se demuestra después, que el teorema es válido también para límites laterales y para x tendiendo a más y menos infinito).


Teorema (Límite de composiciones)

Si


Teorema (delocalidad del límite)
Dadas dos funciones f y g, tales que con B un entorno de a, si se sabe que

(El teorema de localidad del límite es válido para límites laterales, con la parte del entorno quecorresponda, y también para límites infinitos).


Teorema (Conocido vulgarmente como “teorema del Sandwich”)
Dadas tres funciones f,g y h, tales que
con B un entorno de a, y tales que


(Elteorema del Sandwich es válido también para límites laterales, para x tendiendo a más o menos infinito y para límites infinitos).


Proposición: Límite notable

Demostración:
Trabajaremosprimero con valores x , tales que
En el gráfico podemos ver un cuarto de círculo correspondiente a la circunferencia trigonométrica (de radio 1).
Si la longitud del tramo de arco que va de A hasta Ces el valor x, para dicho valor el segmento es sen(x), y el segmento es tg(x)

En el gráfico podemos observar que
(1)
(Esta es una propiedad trigonométrica que no estamos encondiciones de analizar ahora)

recordando que , y dividiendo cada miembro de la desigualdad (1) por sen(x) (el cual es un valor positivo) obtenemos
y simplificando, nos queda(Desigualdad válida )
Aplicando el “teorema del Sándwich” podemos observar que:

(1)

Sea ahora x tal que

En el nuevo gráfico, además de observar que x,...