derivadas matematicas II ingenierias

INDICE
INTRODUCCION
1. Derivadas y Recta Tangente
2. Notaciones
3. Reglas Básicas de la Derivación
4. Regla de Producto y del Cociente
5. La Derivada como Razón de cambio
6. Regla de la Cadena
7. Derivadas de la Función Logaritmo
8. Derivadas de la Función Exponencial
9. Derivación Implícita
10. Derivadas de Orden Superior
11. Análisis de Graficas Mediante Derivadas
12. Extremos Relativos yPuntos Críticos
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Pasos a seguir para Realizar una Gráfica
Extremos Absolutos en un Intervalo Cerrado
Pasos a seguir para Realizar una Gráfica en un Intervalo Cerrado
Concavidades y Prueba de la Segunda Derivada
Asíntotas Horizontales y Verticales
Problemas de Optimización

Bibliografía

Matemáticas II
OD 18 Dalila Victoria Rincón

INTRODUCCION

Tanto en la vida real como en lasmatemáticas en muchas ocasiones
queremos hacer algo o aproximarnos, esta es en forma intuitiva del
concepto de límite, utilizado para comparar dos eventos uno muy rápido
como el avión y otro muy lento como la tortuga.
Además puedo realizar un evento en forma espaciada, interrumpida o
continua, aplicable a funciones continuas, definidas a trozos o con una
discontinuidad en su dominio o rango.
Elpropósito de esta guía es crear una agilidad en los estudiantes para
identificar la clase de límite y pasos a seguir en el manejo de la continu

Matemáticas II
OD 18 Dalila Victoria Rincón

FUERZAS MILITARES DE COLOMBIA
FUERZA AÉREA
ESCUELA MILITAR DE AVIACIÓN "MARCO FIDEL SUAREZ"
CIENCIAS BASICAS
1. DERIVADAS Y RECTA TANGENTE
a) Recta tangente a una curva en el punto P

b) No hay recta tangenteen el punto x=3
Matemáticas II
OD 18 Dalila Victoria Rincón

Podemos aproximar la recta tangente por medio de una recta secante que pasa por 2
puntos como se ve en la figura. La pendiente de la recta secante se encuentra sustituyendo
en m 

y 2  y1 f c  x   f c  f c  x   f c 


x2  x1
c  x  c
x

Matemáticas II
OD 18 Dalila Victoria Rincón

Entre más cercano este c y c  x, la pendiente de la recta secante se convierte en recta

f c  x   f c 
, lo cual se
x
f x  h   f x 
conoce como la definición de derivada f ' x   lim
h 0
h
tangente en el punto c, esto implica que cuando x  0  lim

x 0

Ejemplo: Encontrar la derivada de por definición de f x   x 2  1 en los puntos (-1,2).



 




f x  h   f x 
x  h  1  x 2  1
x 2  2 xh h 2  1  x 2  1
f x   lim
 lim
 lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h
2
2 xh  h
h( 2 x  h)
 lim
 lim
 lim 2 x  h  2 x
h 0
h 0
h 0
h
h
'

2

Evaluando en el punto tenemos f '  1  2
2. NOTACIONES

f ' x ,

dy ' d  f x 
,y,
, Dx y
dx
dy

Se dice que f es derivable en un intervalo [a,b] si sus límites por la derecha e izquierda existen y
son iguales, o sea que: f ' x   lim
x cMatemáticas II
OD 18 Dalila Victoria Rincón

f x   f c 
f x   f c 
 lim
x c
xc
xc

3. REGLAS BASICAS DE LA DERIVACION
d c 
d cf x 

0
 cf ' x 
dx
dx
d senx 
d cos x 

 cos x
  senx
dx
dx


d  f x   g x 
 f ' x   g ' x 
dx

 

d xn
 nx n 1
dx

Ejercicio
1. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva g x  

5
, en el punto
1  3x(2,-1).

g x  h  

5
5


1  3 x  h  1  3 x  3h
5
5
51  3x   51  3x  3h  5  15 x  5  15 x  15h
g x  h   g x  



1  3x  3h 1  3x 
1  3x  3h 1  3x 
1  3x  3h 1  3 x
g x  h   g x 
15h
15



h
h1  3x  3h 1  3x  1  3 x  3h 1  3x 
g x  h   g x 
15
15
lim
 lim


h 0
h

0
1  3x  3h 1  3x  1  3x 2
h
15
3
3
m  g '2  

 y  1  x  2
2
5
1  32 5
Ejemplos
2

b)

6 3
f x    
 f ' x   0
7
f x   x 53  y '  53x 531  15x14

c)

f  p  3 p 4

d)

y  8x 4  ln 2  y '  32 x

a)

 y '  4 3 p3

f)


   t   53t   15t
 x   2 x 4 x   8x   x   40 x

g)

f x   x

e)  t   5 t 3  32
3

2

3

'

2

 x  5  x

2

5

1

3

'

 5x

2

3...