DerivadasParciales

Derivadas Parciales
Ejercicio 1. Calcular las derivadas parciales de:
a) f (x, y, z) = xy+z , x > 0, y, z ∈ R.
b) f (x, y, z) = (x + y)z , x > 0, y > 0, z ∈ R.
c) f (x, y) = sen(x sen(y)), x, y ∈ R.
Ejercicio 2. Determinar los gradientes en un punto cualquiera de R3 de las siguientes funciones:
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
b) f (x, y, z) = xyz .
Ejercicio 3. Encontrar la derivada direccionalde f en a según la dirección de h en los siguientes
casos:
a) f (x, y, z) = xy 2 , a = (2, 1) y h =

√2 , − √1
5
5

.

b) f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 , a = (1, 1, 0) y h = (0, 0, 1).
Ejercicio 4. Calcular el plano tangente a la función f (x, y) = x2 y −xy 2 +y 5 −3 en el punto (−1, 1).
Ejercicio 5. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 en los puntos (0, 0)
y (1, 2).Ejercicio 6. Calcular el plano tangente a la función f (x, y) = x2 + 3xy + 8y 2 en el punto (0, 1).
Ejercicio 7. Determinar la dirección respecto de la cual la derivada direccional de la función
f (x, y, z) = xy 2 + yz + z 2 x2 en el punto (1, 2, −1) tenga un valor máximo.
1
Ejercicio 8. Dada la función f (x, y) = x2 +y
2 hallar en el punto (2, 3) la derivada definida según
2
la dirección definidapor y = 3 x y el valor máximo de la derivada direccional.

Ejercicio 9. Consideramos las funciones f (x, y, z) = ex + y 2 , kez + y (donde k es un parámetro)
y g(u, v) = v 2 + log(u) si u > 0. ¿Qué valor debe tomar k para que la derivada direccional máxima
de g ◦ f en (0, 0, 0) valga 1?
∂z
∂z
Ejercicio 10. Sea f : R −→ R derivable. Si z = f (x2 y) probar que x ∂x
= 2y ∂y
.
y

Ejercicio 11. Seanf, g ∈ C 1 (R) y z(x, y) = x2 yf (u) + xy 2 g(v) donde u = xy y v = x . Calcular
∂z
∂z
x ∂x
+ y ∂y
.
Ejercicio 12. Sea u = f x2 + 2yz, y 2 + 2xz con f ∈ C 1 (R2 ). Probar que

y 2 − xz

∂u
∂u
∂u
+ x2 − yz
+ z 2 − xy
= 0.
∂x
∂y
∂z

Ejercicio 13. Sea f una función de clase C 2 . Calcular las derivadas parciales de F en los siguientes casos:
1

a) F (x, y) = f (ax + by)
b) F (x, y) = f (ax + by, cx +dy)
c) F (x, y) = xf (y, y) + yf (x, x)
d) F (x, y) = f (x, xy, x + y)
Ejercicio 14. Sean f, g las funciones reales dadas por:

f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y , ∀(x, y) ∈ R2 .
g(x, y) = sen(x) + sen(y) + cos(x + y), 0 < x < 2π , 0 < y < 2π .
Se pide:
a) Calcular la matriz jacobiana en el dominio de definición.
b) Calcular la matriz hessiana en los puntos críticos.
c) Estudia la existencia deextremos relativos y de puntos de silla.
Ejercicio 15. Obtener los extremos relativos de las siguientes funciones. Estudia si son absolutos.
a) f : R2 −→ R, f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 20.
b) f : R2 −→ R, f (x, y) = 2x4 + y 2 − 3xy 2 .
c) f : R2 −→ R, f (x, y) = (x − 1)4 + (x − y)4 .
d) f : R2 −→ R, f (x, y) = sen(xy).
Ejercicio 16. Sean a, b ∈ R y f : R2 −→ R dada por f (x, y) = x2 + y 2 −2ax − 2by . Estudia la
existencia de extremos relativos de f en función de los parámetros a y b.
Ejercicio 17. Calcular los máximos y los mínimos absolutos de las siguientes funciones en los
dominios dados:
a) f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 1 en la placa triangular cerrada acotada por las rectas x = 0, y = 4 e
y = x.
b) g(x, y) = x4 + y 4 + 2x2 y 2 − 3 en el disco (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

1 .

c) h(x, y)= x2 − y 2 en R2 .
Ejercicio 18. Calcular el valor máximo de z en el conjunto x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1, x + y + z = 0.
Ejercicio 19. Una placa circular plana tiene la forma del disco x2 + y 2
de manera que la temperatura en un punto (x, y) es

1. La placa se calienta

T (x, y) = x2 + 2y 2 − x.
Determinar los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la temperatura en
cada uno deellos.
2

Ejercicio 20. Estudia los extremos relativos de la función f : R2 −→ R dada por

f (x, y) = 3xy − xy 2 − yx2 .
¿Son absolutos?
Ejercicio 21. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es 18 y la suma de sus cubos sea
máxima.
Ejercicio 22. Se trata de montar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para
minimizar la interferencia se desea emplazarlo donde el campo magnético del...