Descomposicion Vectorial

Antología

P (2,−2,1) , Q(3,−1,2 ) ,

SOL. a)

2
2

b) ±

R (3,−1,1)

1
2

i− j

8) Encuentre el área de los paralelogramos cuyos vértices se proporcionan.
a) A(1,0) , B(0,1) , C (−1,0) , D (0,−1)
SOL. 2
b) A(−1,2) , B( 2,0) , C (7,1) , D(4,3)

SOL. 13

9) Encuentre el área de los triángulos cuyos vértices se proporcionan
11
a) A(0,0) , B (−2,3) , C (3,1)
SOL.
2
b)A(−5,3) , B (1,−2) , C (6,−2)

SOL.

25
2

c) A(−6,0) , B (10,−5) , C (−2,4)

1.5 Descomposición vectorial en dos y tres dimensiones.

DESCOMPOSICION VECTORIAL EN DOS DIMENSIONES

En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos
componentes perpendiculares entre si. En la siguiente figura, la fuerza F es ha
descompuesto en una componente FX a lo largo del eje Xy una componente F y a lo
largo del eje Y. El paralelogramo trazado para obtente las dos componentes es un
rectángulo, y las fuerzas Fx y F y se llaman componentes rectangulares.

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Cálculo Vectorial.

Generalmente los ejes X y Y suelen elegirse a lo largo de las direcciones
horizontales y vertical, respectivamente. Sin embargo, en general, para determinar
las componentesrectangulares de una fuerza debe pensarse que las líneas de
construcción mostradas en las figuras anteriores son paralelas a los ejes X y Y, en
lugar de perpendiculares entre ellos.

Si se representa con F la magnitud de la fuerza F y con θ el ángulo entre F y el eje
X, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje X positivo, y con
ayuda de las definiciones de lasfunciones trigonométricas de seno y coseno, se
pueden expresar las componentes escalares de F como sigue.

Fx = F cos θ

Fy = Fsenθ

Así, la fuerza F esta expresada por sus componentes vectoriales de la forma:

F = Fx i + Fy j
Y el ángulo que define su dirección está dado por:
tan θ =

Fy
Fx

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Antología

Gráficamente:

Componentes vectoriales de una fuerza F

Enalgunos problemas prácticos aparecen triángulos oblicuos en los cuales se desea
conocer el valor de un ángulo o la longitud de uno de sus lados. Para ello es
necesario conocer la ley de los senos y cosenos.

LEY DE LOS SENOS: Para cualquier triangulo la razón de las longitudes de
cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos
correspondientes.

senA senB senC
==
a
b
c

Si conocemos dos lados y el ángulo formado entre ellos o si conocemos los tres
lados, podemos aplicar la ley de los cosenos.

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Cálculo Vectorial.

LEY DE LOS COSENOS: En cualquier triangulo ABC, tenemos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

DESCOMPOSICION VECTORIAL EN TRES DIMENSIONES

Considere una fuerzaF que actúa en el origen O del sistema de coordenadas
rectangulares x, y , z .
La relación que existe entre la fuerza F y sus tres componentes Fx , Fy y Fz se
puede percibir si se traza una caja que tiene por aristas Fx , F y y Fz , como se
muestra en las siguientes figuras.

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Antología

Observemos que las componentes Fx , F y y Fz están relacionados con los cosenosdirectores de un vector.
Por lo tanto estas componentes están dadas por las ecuaciones:

Fx = F cosθ x

Fy = F cosθ y

Fz = F cos θ z

Y la magnitud de la fuerza F está relacionada con sus componentes escalares por
la expresión:

F = Fx2 + F y2 + Fz2
Así, la expresión vectorial de F en sus componentes vectoriales está dada por el
vector

F = Fx i + FY j + Fz k

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CálculoVectorial.

FUERZA DEFINIDA EN TERMINOS DE SU MAGNITUD Y DOS PUNTOS SOBRE
SU LINEA DE ACCION

En muchas aplicaciones la dirección de una fuerza F está definida por las
coordenadas de dos puntos M ( x1 , y1 , z1 ) y N ( x 2 , y 2 , z 2 ) localizadas sobre su línea de
→

acción. Consideremos el vector MN que une a M y N y tiene el mismo sentido que
F. Si se representan sus componentes...