Determinantes (matemáticas)

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
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Introducción.
Determinante de una matriz de 3 x 3.
Menores y cofactores.
Determinante de una matriz de n x n.
Matriz triangular.
Determinante de una matriz triangular.
Propiedades de los determinantes.
Determinantes e inversa.
Adjunta de una matriz.
Regla de Cramer.

Anteriormente, en la sección de matrices, se definió eldeterminante de una matriz A de 2
x 2 como
det A = a11a22 – a12a21.
Ahora para el caso de 3 x 3 tenemos:

Definición.

Sea

. Entonces

Ejemplo.

Evalúe el determinante de la siguiente matriz
Solución:

Existe otro método para calcular determinantes de 3 x 3. Se escribe el determinante en
cuestión y se le adjuntan sus dos primeras columnas:

Después se calculan los seis productos, sumando todos losindicados por las flechas hacia
abajo menos aquellos indicados por las flechas hacia arriba.
Ejemplo.

Evaluar el siguiente determinante
Solución:
Se anexan las dos primeras columnas y se realizan los productos con los signos apropiados:

Definición.
Sea A una matriz cuadrada. El menor del elemento aij se denota como Mij y es el
determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y lacolumna j de A.
El cofactor de aij se denota como Aij y está dado por

Ejemplo.

Determine el menor y el cofactor de los elementos a11 y a32 de
Solución:
Aplicando la definición anterior, se tiene lo siguiente:

.

Definición.
El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del
primer renglón por sus cofactores.
Si A es de 3 x 3,
Si A es de 4 x 4,
Si A es de nx n,

|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13
|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14
|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + … + a1nA1n

A estas ecuaciones se les llama expansión por cofactores de |A|.

Ejemplo.

Evalúe el determinante de la siguiente matriz
Solución:
Usando los elementos del primer renglón y sus correspondientes cofactores se obtiene

En general se tiene:

Teorema
El determinante de cualquiermatriz cuadrada es la suma de los productos de los elementos
de cualquier renglón o columna por sus cofactores.
Expansión a lo largo del renglón i:

Expansión a lo largo de la columna j:

Definición.
Matriz triangular.
Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos sus elementos debajo de la
diagonal principal son cero. Es una matriz triangular inferior si todos sus elementos arriba
dela diagonal principal son cero. Una matriz se llama matriz diagonal si todos los
elementos que no están sobre la diagonal principal son cero. Una matriz diagonal es tanto
triangular superior como inferior.

Ejemplo:
Las matrices A y B son triangulares superiores.

Las matrices C y D son triangulares inferiores.

La matriz

es una matriz diagonal. También es triangular superior e inferior.Teorema.
Sea A = (aij) una matriz de n x n triangular superior o inferior. Entonces
det A = a11 a22 a33 … anm
Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes
en la diagonal principal.

Ejemplo.

Evaluar el determinante de la siguiente matriz
Solución.
Ya que C es una matriz triangular, podemos aplicar el teorema anterior.
det C = 5(3)(4) = 60

Teorema
Sea T unamatriz triangular superior. Entonces T es invertible (tiene inversa) si y sólo si
det T = 0.

Propiedades de los determinantes.
Sean A, B y C determinantes de n x n .
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det ( A + B ) = det A + det B.
det AB = det A det B.
det At = det A
Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A = 0
Si el renglón i o la columna j de A se multiplica por unescalar c, entonces det A se
multiplica por c.
El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A, tiene el
efecto de multiplicar det A por -1.
Si a tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A = 0.
Si un renglón (columna) de A es un múltiplo escalar de otro renglón (columna),
entonces det A = 0.
Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro...