Dialogos

Universidad Francisco Marroqu´
ın
Ingenier´ Empresarial
ıa

Facultad de Ciencias Econ´micas
o
C´lculo Integral
a

Segundo Examen Parcial
2do. Semestre 2012
Nombre:

Carn´:
e

Instrucciones: Resuelva cada problema dejando constancia del procedimiento realizado, respuestas sin procedimiento no tendr´n validez. Durante el examen se tendr´n cinco minutos para la resoluci´n de dudas,periodo
a
a
o
posterior al cual no se responder´n preguntas. En el Tema 5 deber´ indicar claramente cual es la opci´n que desea
a
a
o
que se le califique, el otro lo podr´ realizar como bonus (10 pts.), en el entendido que se le calificar´ solamente si la
a
a
otra opci´n est´ resuelta correctamente.
o
a

Tema 1 (15pts.)
Eval´e la integral:
u
dx
+ 1)1/2

x(4x2

• Soluci´n
oUsando sustituci´n trigonom´trica tenemos:
o
e
tan θ = 2x
2

sec θdθ = 2dx
De donde:
dx
2 + 1)1/2
x(4x

=
=
=
=

(1/2)(sec2 θ) dθ
√
(1/2)(tan θ) tan2 θ + 1
sec θ
dθ
tan θ
1
cos θ
dθ
cos θ
sin θ
csc θ dθ

= ln | csc θ − cot θ|
Por lo tanto:
dx
x(4x2 + 1)1/2

√
= ln

4x2 + 1
1
−
+k
2x
2x

Tema 2 (10pts.)
Eval´e la integral:
u
cos x(1 + sin2 x)dx
•Soluci´n
o
Desarrollando el producto tenemos:
cos x(1 + sin2 x) dx =

cos x sin2 x dx

cos x dx +

Utilizando la sustituci´n u = sin x; ⇒ du = cos x dx en la segunda integral, tenemos:
o
cos x(1 + sin2 x) dx =

cos x sin2 x dx

cos x dx +

= sin x +

sin3 x
+k
3

Tema 3 (20pts.)
Eval´e la integral o muestre que es divergente:
u
2

z 2 ln zdz
0

• Soluci´n
o
Pordefinici´n tenemos:
o
2

2

z 2 ln zdz = l´
ım

t→0 t

0

z 2 ln zdz

Utilizando integraci´n por partes tenemos:
o
u = ln z

dz
z
z3
=⇒ v =
3

=⇒ du =

dv = z 2 dz
Por tanto tenemos:
2

2

z 2 ln zdz = l´
ım

z 2 ln zdz

= l´
ım

z3
ln |z | −
3

t→0 t

0

t→0

= l´
ım

t→0

=

z3
3

ln |z | −

8
8
ln |2| −
3
9

2

z 2 ln z dz converge.Por lo tanto la integral
0

2

z2
dz
3

t
2
z3

9

t

Tema 4 (15pts.)
Eval´e la integral:
u
θ tan2 θdθ
• Soluci´n
o
Utilizando integraci´n por partes tenemos:
o
=⇒ du = dθ

u=θ

2

=⇒ v = tan θ − θ

dv = tan θ dθ
Por tanto tenemos:

θ tan2 θdθ = θ(tan θ − θ) −
= θ tan θ − θ2 +
= θ tan θ −

(tan θ − θ) dθ
θ2
−
2

sin θ
dθ
cos θ

θ2
+ ln | cos θ|+ k
2

Tema 5 (15 pts.) Un grupo de ingenieros est´ construyendo un plato de sat´lite parab´lico
a
e
o
cuya forma se constituye al hacer girar la curva y = a2 alrededor del eje ”y ”. Si el plato
tendr´ un di´metro de 10 pies en su parte superior y una profundidad de 2 pies. Encuentre
a
a
el valor de a y el ´rea superficial del plato.
a
• Soluci´n
o
Por definici´n1 tenemos:
o
A=2πx ds

Para nuestro caso el ds esta dado por:
1 + [f (x)]2 dx

ds =
=

1 + [2ax]2 dx

=

1 + 4a2 x2 dx

De las condiciones del problema tenemos:

0≤

x

2
25
≤5

0≤

y

≤2

a=

1

Dado que la funci´n gira alrededor del eje y
o

Por tanto tenemos:
5

A=

2πx ds
0
5

=

1 + 4a2 x2 dx

2πx
0

Sea:
u = 1 + 4a2 x2
du = 8a2 x dx
Por lo tanto
52πx ds

A=
0
5

=

1 + 4a2 x2 dx

2πx
0

√
2π
u du
2
8a
4π 3/2
u
24a2
4π
(1 + 4a2 x2 )3/2
24a2
90.01

=
=
=
A=

5
0

Tema 5b Un halc´n vuela a 15 m/s a una altitud de 180m deja caer su presa accidentalo
mente, la trayectoria que describe es parab´lica y est´ dada por la ecuaci´n:
o
a
o
y = 180 −

x2
45

Hasta que choca con el suelo. Calcular ladistancia que recorre la presa desde el momento
que es dejada caer hasta que choca con el suelo. Precisi´n de una cifra decimal.
o
• Soluci´n
o
Dicha distancia es la Longitud de Arco, entonces por definici´n tenemos:
o
b

1 + (y )2 dx

L=
a
90

=

1+
0

L = 209.10

2x
45

2

dx

Tema 6 (10 pts.) Suponga que se necesitan 2J de trabajo para estirar un resorte desde su...