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Publicado: 4 de diciembre de 2015
SECCIÓN 14.4
PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES
919
L a a p r o x i m a c i ó n l in e a l c o r r e s p o n d i e n t e e s
x e iy
de m o d o que
/ ( 1 . 1 , —0 . 1 )
x
1.1 — 0.1 =
C o m p a r e lo a n t e r i o r c o n e l v a lo r re a l d e / ( 1 . 1 , —0 .1 ) =
EJEMPLO 3
1
l . l £ “ 011
0.9 85 4 2 .
I
A l i n i c i o d e la s e c c i ó n 1 4.3 , e s t u d i a m o s e l índ ice c a l o r í f i c o ( t e m p e r a t u r a
p e r c i b i d a ) / c o m o u n a f u n c ió n d e la t e m p e r a t u r a r e a l T y la h u m e d a d r e l a t i v a H y se
p r e s e n t ó la t a b l a s i g u i e n t e d e v a l o r e s d e l N a ti o n a l W e a t h e r S e rv i c e .
X
T em p era tu ra
real
(°F)
50
55
60
90
96
98
92
100
94
Hum edad rela tiva (% )
65
70
7580
85
90
100
103
106
109
112
115
119
103
105
108
112
115
119
123
128
104
107
111
1 14
118
122
127
132
137
96
109
113
116
121
125
130
135
141
146
98
114
118
123
127
133
138
144
150
157
100
119
124
129
135
141
147
154
161
168
C a l c u l e u n a a p r o x i m a c i ó n l i n e a l p a r a e l ín d ic e c a l o r í f i c o / = f ( T , H) c u an d o T e s t á c e r c a
d e 9 6 ° F y H e s t á c e r c a d e l 7 0 % . M e d i a n t e e lla e s t i m e e l í n d ic e c a l o r íf i c o c u a n d o la
t e m p e r a t u r a e s d e 9 7 ° F y la h u m e d a d r e l a t i v a e s 7 2 % .
SOLUCIÓN E n l a t a b l a se v e q u e / ( 9 6 , 7 0 ) = 125. E n la s e c c i ó n 14.3 u s a m o s lo s v a l o re s
d e l a t a b l a p a r a e s t i ma r q u e / r ( 9 6 , 7 0 ) ** 3 .7 5 y / h {9 6 , 7 0 )
y 9 0 2 . ) E n t o n c e s , la a p r o x i m a c i ó n l in e a l es
/ ( T , H ) ** / ( 9 6 , 7 0 ) + f T{9 6 , 10)(T a* 12 5 + 3 . 7 5 ( 7 -
0 .9 . ( V é a n s e p á g i n a s 901
9 6 ) + f H( 9 6 , 7 0 ) ( H -
96) + 0.9 (7 / -
70)
70)
E n p a r ti c u l a r ,
/ ( 9 7 , 7 2 ) ** 1 25 + 3 .7 5 (1 ) + 0 . 9 ( 2 ) =
130.55
P o rlo ta n t o , c u a n d o T = 9 7 ° F y H = 7 2 % , e l í n d ic e c a l o r íf i c o e s
/
131 ° f
D ife re n cia le s
E n e l c a s o d e u n a fu n c i ó n d e r i v a b l e d e u n a v a r i a b l e , y = / ( x ) , d e f i n i m o s l a d i f e r e n c i a l d x
c o m o u n a va r ia b le in d e p e n d ien te : e s de c ir, d x p u e d e t e n e r el v a lo r de c u a l q u i e r n ú m e ro
re al. L a d i f e r e n c i a l d e y se d e f in e e n t o n c e s c o m o
d y = f ' { x) d x
( V é a s e s e c c i ó n 3 . 1 0 . ) E n l a fi g u r a 6 se m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n tr e e l i n c r e m e n t o A y y l a d i f e -
r e n c i a l dy. A y r e p r e s e n t a e l c a m b i o e n a lt u r a de la c u r v a y = f ( x ) y d y r e p r e s e n t a e l c a m b i o
en altura de la ta n g e n te c u a n d o j rc a m b i a una c a ntid ad d x = A x
FIGURA 6
E n e l c a s o d e u n a f u n c i ó n d i f e r e n c i a b l e d e d o s v a r i a b l e s , z = / ( x , y ) , d e f i n i m o s l as
d if e r e n c i a le s d x y dy c o m o va ria b le s in de p e n dien te s: es de cir, p u ed en to m a r c u a lq u ie r
92 0
CAPÍTULO 14
DERIVADAS PARCIALES
v a lo r. E n t o n c e s , la d i f e r e n c i a l dz y t a m b i é n c o n o c i d a c o m o d i f e r e n c i a l t o t a l , se d e f i n e
com o
( C o m p a r e c o n l a e c u a c i ó n 9.) A l g u n a s v e c e s se u s a la n o t a c i ó n d f e n l u g a r d e dz.
Si t o m a m o s d x = A * = x — a y dy = A y = y — b d e l a e c u a c i ó n 10, e n t o n c e s la d i f e -
rencial de z esdz = f a a , b) (x - a) + fy(ci, b) (y - b)
D e e s te m o d o , e n la n o ta c i ó n d e d i fe re n c i a le s , la a p r o x im a c ió n lin e a l [ 4 ] se p u e d e e s c rib ir
com o
/(* .
y)
**
b) + dz
L a f ig u ra 7 e s e l e q u i v a l e n t e t r i d i m e n s i o n a l d e la f igu ra 6 y e n e l l a se m u e s t r a la i n t e r p r e t a -
c i ó n g e o m é t r i c a d e l...
PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES
919
L a a p r o x i m a c i ó n l in e a l c o r r e s p o n d i e n t e e s
x e iy
de m o d o que
/ ( 1 . 1 , —0 . 1 )
x
1.1 — 0.1 =
C o m p a r e lo a n t e r i o r c o n e l v a lo r re a l d e / ( 1 . 1 , —0 .1 ) =
EJEMPLO 3
1
l . l £ “ 011
0.9 85 4 2 .
I
A l i n i c i o d e la s e c c i ó n 1 4.3 , e s t u d i a m o s e l índ ice c a l o r í f i c o ( t e m p e r a t u r a
p e r c i b i d a ) / c o m o u n a f u n c ió n d e la t e m p e r a t u r a r e a l T y la h u m e d a d r e l a t i v a H y se
p r e s e n t ó la t a b l a s i g u i e n t e d e v a l o r e s d e l N a ti o n a l W e a t h e r S e rv i c e .
X
T em p era tu ra
real
(°F)
50
55
60
90
96
98
92
100
94
Hum edad rela tiva (% )
65
70
7580
85
90
100
103
106
109
112
115
119
103
105
108
112
115
119
123
128
104
107
111
1 14
118
122
127
132
137
96
109
113
116
121
125
130
135
141
146
98
114
118
123
127
133
138
144
150
157
100
119
124
129
135
141
147
154
161
168
C a l c u l e u n a a p r o x i m a c i ó n l i n e a l p a r a e l ín d ic e c a l o r í f i c o / = f ( T , H) c u an d o T e s t á c e r c a
d e 9 6 ° F y H e s t á c e r c a d e l 7 0 % . M e d i a n t e e lla e s t i m e e l í n d ic e c a l o r íf i c o c u a n d o la
t e m p e r a t u r a e s d e 9 7 ° F y la h u m e d a d r e l a t i v a e s 7 2 % .
SOLUCIÓN E n l a t a b l a se v e q u e / ( 9 6 , 7 0 ) = 125. E n la s e c c i ó n 14.3 u s a m o s lo s v a l o re s
d e l a t a b l a p a r a e s t i ma r q u e / r ( 9 6 , 7 0 ) ** 3 .7 5 y / h {9 6 , 7 0 )
y 9 0 2 . ) E n t o n c e s , la a p r o x i m a c i ó n l in e a l es
/ ( T , H ) ** / ( 9 6 , 7 0 ) + f T{9 6 , 10)(T a* 12 5 + 3 . 7 5 ( 7 -
0 .9 . ( V é a n s e p á g i n a s 901
9 6 ) + f H( 9 6 , 7 0 ) ( H -
96) + 0.9 (7 / -
70)
70)
E n p a r ti c u l a r ,
/ ( 9 7 , 7 2 ) ** 1 25 + 3 .7 5 (1 ) + 0 . 9 ( 2 ) =
130.55
P o rlo ta n t o , c u a n d o T = 9 7 ° F y H = 7 2 % , e l í n d ic e c a l o r íf i c o e s
/
131 ° f
D ife re n cia le s
E n e l c a s o d e u n a fu n c i ó n d e r i v a b l e d e u n a v a r i a b l e , y = / ( x ) , d e f i n i m o s l a d i f e r e n c i a l d x
c o m o u n a va r ia b le in d e p e n d ien te : e s de c ir, d x p u e d e t e n e r el v a lo r de c u a l q u i e r n ú m e ro
re al. L a d i f e r e n c i a l d e y se d e f in e e n t o n c e s c o m o
d y = f ' { x) d x
( V é a s e s e c c i ó n 3 . 1 0 . ) E n l a fi g u r a 6 se m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n tr e e l i n c r e m e n t o A y y l a d i f e -
r e n c i a l dy. A y r e p r e s e n t a e l c a m b i o e n a lt u r a de la c u r v a y = f ( x ) y d y r e p r e s e n t a e l c a m b i o
en altura de la ta n g e n te c u a n d o j rc a m b i a una c a ntid ad d x = A x
FIGURA 6
E n e l c a s o d e u n a f u n c i ó n d i f e r e n c i a b l e d e d o s v a r i a b l e s , z = / ( x , y ) , d e f i n i m o s l as
d if e r e n c i a le s d x y dy c o m o va ria b le s in de p e n dien te s: es de cir, p u ed en to m a r c u a lq u ie r
92 0
CAPÍTULO 14
DERIVADAS PARCIALES
v a lo r. E n t o n c e s , la d i f e r e n c i a l dz y t a m b i é n c o n o c i d a c o m o d i f e r e n c i a l t o t a l , se d e f i n e
com o
( C o m p a r e c o n l a e c u a c i ó n 9.) A l g u n a s v e c e s se u s a la n o t a c i ó n d f e n l u g a r d e dz.
Si t o m a m o s d x = A * = x — a y dy = A y = y — b d e l a e c u a c i ó n 10, e n t o n c e s la d i f e -
rencial de z esdz = f a a , b) (x - a) + fy(ci, b) (y - b)
D e e s te m o d o , e n la n o ta c i ó n d e d i fe re n c i a le s , la a p r o x im a c ió n lin e a l [ 4 ] se p u e d e e s c rib ir
com o
/(* .
y)
**
b) + dz
L a f ig u ra 7 e s e l e q u i v a l e n t e t r i d i m e n s i o n a l d e la f igu ra 6 y e n e l l a se m u e s t r a la i n t e r p r e t a -
c i ó n g e o m é t r i c a d e l...
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