dinamicos

1- Para el siguiente sistema:
.

X 1  3 X 12  2 X 1 X 2  5 X 23 X 3
.

X 2  2 X 3  5 X 2  4 X 12
.

X 3  6 X 2  3 X 3

a) Construya el diagrama de simulación.
b) Obtenga la expresión para el algoritmo Forward Euler.

2-Empleando solo amplificadores operacionales con configuración de inversor, más
resistores y condensadores, diseñe un circuito cuya función detransferencia sea:

G(s) 

k1

S  k 2  1  k 3 
S



Especifique los valores de los resistores y de los condensadores, en función de k1 , k 2 y k 3 .
3- A partir de la función:

G( s) 

k1

S  k 2 2 S

a) Obtenga la ecuación diferencial
b) Obtenga la ecuación de estado en la forma matricial. Además obtenga la ecuación
.

de salida , suponiendo que las salidas son y e y .1a)

b)
El algoritmo Forward Euler esta dado por:

X K 1  X K  hf  X K , t K 
Para nuestro caso:

X K 1  X K  hf  X K 
Donde:

f X K   X K
.

caso autónomo.

Luego:

f X K   X K
.

3 X 12K  2 X 1K X 2 K  5 X 23K X 3 K 


   2 X 3 K  5 X 2 K  4 X 12K



 6 X 2 K  3 X 3K



3 X 12K  2 X 1K X 2 K  5 X 23K X 3 K 
 X 1 K 1  X 1K 
 Asi X K 1  X K  hf  X K 

 
  h  2 X  5 X  4 X 2
X

X
2
2
K
3
K
2
K
1
K


 K 1  



 X 3 K 1   X 3 K 

6
X

3
X
2K
3K



2-

G(s) 

k1

S  k 2  1  k 3 
S



k1

1
 K3
S  k 2   k 3 
S
 S
K1
S
K3
1
1
G s  

S  k 2  1  k 3  S  k 2   S  1
S

k3
G ( s) 

K1
S
 K3



V1  Z 2 s 

 G1 s 
VI
Z 1 s 

1
SC R  1
 1 1
SC1
SC1
1
1
SC1
SC1
S 
1 



  S 
Z1 s  SC1 R1  1 
R1 
C1 R1 
1 
 S 
C1 R1
C1 R1 


Z1 s   R1 

V0  Z 4 s 

 G2 s 
V1
Z 3 s 

Z 3 S   R2 
Z 4 S  

1
SC2 R2  1
1



SC2
SC2
Z 3 S  S 

1
SC3

 Z 4 s 1 S 
1 
 S 


Z 3 s 
SC3 R2 
C2 R2 
1
 Z 4 s 
1 
1 
S 
 

Z 3 s 
C3 R2 
C2 R2 

S
R2
1
C2 R2

1

1

1
C3 R2  S 
C2 R2


Luego con Z 2 S   R3
1


1 

S  S 
C
R
1 1 

1
1 
1 
S 

G 2 S  
C 3 R2 
C 2 R2 
1

R3
1  
1
  S 
G1 S G 2 S  
S  S 
C 3 R1 R2 
C1 R1  C 2 R2
R
G1 S    3
R1





1

R3
K1

K 3 C 3 R1 R 2
K2 

1
C 2 R2

K 3  C1 R

R1  K 3

3-

R2 

1
K1 K 2

R3 

1
K2

Asumir

C1  C 2  C3  1F





a) G(s) 

k1
S  k2 2 S

Y S 
U S 

G( s) 
Luego:

G(s) 

k1
Y S 

U S  S  k 2 2 S

S  k 2 2 SY S   K 1U S 

S
S



2

 2 K 2 S K 22 SY S   K 1U S 

3

 2 K 2 S 2  K 22 S Y S   K 1U S 



Aplicando transformada inversa, nos queda:
...

..

.

y(t )  2K 2 y(t )  K 22 y(t )  K1u(t )

b) Se definen las variables de estado para la ec. Diferencial anterior.
.

X1  y
.

X1  X 2

X2  y



..

.

X2  X3
.

X3  y

X 3  K 1u (t )  2 K 2 X 3  K 22 X 2
En formamatricial queda:

 . 
1
 X. 1  0
 X   0
0
 .2 
 X 3  0  K 22
 

0  X 1   0 
1   X 2    0 u (t )
 2 K 2   X 3   K 1 

La ecuación de salida:

X 
 y  1 0 0  1 
.
 X 2 
0
1
0
y

 X 
 
 3

Para el siguiente sistema :
.

X1  3 X 3  1  2 X1
.

X 2  6 X1 X 3  X1  X 2
X 3   X1  X 2 
.

2a) Construya el diagrama de simulación
b) Obtenga la expresión para el algoritmo Backward Euler
DESARROLLO:
a)

b)
 3 X 3 K 1  1  2 X 1K 1

 X 1 K 1   X 1K 



 
  h 6X
X

X
X

X

X
2
2
K
1
K

1
3
K

1
1
K

1
2
K

1


K

1

 

2


 X 3 K 1   X 3 K 
 X 1K 1  X 2 K 1 



Empleando solo...