discurso

Capítulo "2
La elipse y la hipérbola
12." Definición.
Se llama elipse, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se
acostumbran a llamar focos.
y

P ( x, y )

F1 ( −c, o)

F2 ( c, o)

x

Ecuación:
Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por
#+ß + !ß sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar
geométrico y sean J" a  -ß !b y J# a-ß !bß -  !ß las coordenadas de los focosß
entonces de la definición se tiene
T J"  T J# œ #+

ÈÐB  -Ñ#  C #  ÈÐB  -Ñ#  C # œ #+
de donde se obtiene la ecuación
- # B#  +% œ +# B#  +# - #  +# C #

a"b

Nótese que en el triángulo J" T J# se tiene que
Ahora de a"b resulta À

TJ"  T J #  J " J # Ê +  Ð+#  - # ÑB#  +# C # œ Ð+#  - # Ñ+#

sea ,# œ +#  - # Í +  - y +  , en tal caso , # B#  +# C # œ , # +# y de aquí

Discusión de la ecuación a#b y gráfico

a# b

B#
C#

œ"
+#
,#

Intersecciones con los ejes coordenados
Intersección con el eje \ß B œ „ + de donde Z" Ð  +ß !Ñ y Z# Ð+ß !Ñ son las
coordenadas de los vértices, y la longitud del ejemayor que es #+Þ

Intersección con el eje ] ß C œ „ , de donde F" a!ß  , b y F# a!ß , b son las
coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ
Simetrías

Al sustituir B por  Bß la ecuación a#b no varía lo que indica que la curva tiene
simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por  Cß es decir la
curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucedecuando se sustituyen a la vez B
por  B e C por  Cß la ecuación a#b no varía, luego tiene simetría con el origen
de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría.
Dominio
Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „
a:  + Ÿ B Ÿ +Þ
Recorrido
Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „
a:  , Ÿ C Ÿ ,Þ

,È #
+  B# ß lo que nos conduce
+

+È #
,  C # ß loque nos conduce
,

Concavidad

,È #
,
+  B#  Ð+  BÑß lo que nos
+
+
indica que la curva es cóncava hacia abajo aC  !Þ
Nótese también que À si  + Ÿ B Ÿ + Í

y

a
B2
b

a
F2

F1

V1

V2
c

B1

c

x

Elementos de una elipse:
1. Sean J" y J# los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele
llamar eje focalß en donde J" a  -ß !b y J# a-ß !bß - !Þ
2. El eje focal corta a la curva en dos puntos Z" y Z# llamados vértices, cuyas
coordenadas son À Z" a  +ß !b y Z# a+ß !b
$Þ El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, Z" Z# ß se llama eje
mayor cuya longitud es #+Þ El valor de + se llama semieje mayor.
%Þ El punto medio G del segmento que une los focos, se llama centro de simetría
de la curvaÞ
&Þ La recta que pasa porG y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.
6. El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, F" F# ß se llama eje
menor cuya longitud es #,Þ El valor de , se llama semieje menor.
(Þ Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Gß se llama diámetro de la
elipse.
8. El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos E" y E# se
llama cuerda focal.9. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llama
radio focal.
10. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado
#,#
recto, y su longitud es igual a
+
""Þ Por convenio, tomaremos siempre +  ,ß si es el caso
vértices de la elipse yacen sobre el eje \ß y si fuese
encuentran sobre el eje ] Þ

B#
C#

œ ", los
+#
,#

B#
C#
œ "ß los vértices se
,#
+#

"#Þ Se define por excentricidad de la elipseß al cuociente entre la distancia desde
un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir
/œ

ß note que siempre /  "
+

Observe que si / Ä ! la elipse tiende a una circunferencia y si / Ä " la elipse
tiende a un trazo.

"2Þ2 Otra forma de la ecuación de una elipse

Sea el punto Ð2ß...