Dist Variable Aleatoria

[pic]

DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

DEFINICION

Sea:

• [pic] una variable aleatoria real definida sobre el espacio de probabilidad (Ω, (, P)

• [pic] unafunción tal que [pic] (variable aleatoria definida sobre (Ω, (, P))

La función de distribución de la variable aleatoria Y en términos de la función de distribución de la variable aleatoria [pic]será caracterizada a partir de un procedimiento del cual se analizaran algunos casos particulares.



[pic]

DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Ejemplo 1

Sea X unavariable aleatoria discreta con distribución dada por:

|[pic] |-1 |0 |1 |2 |3 |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic]|[pic] |


Sea Y=X2. Se observa que los posibles valores de Y son 0,1,4 y 9. Además:

|[pic] |0 |1 |4 |9 |
|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |












[pic]



DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Ejemplo 1 (Continuación)[pic]

DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Ejemplo 2 Sea X una variable aleatoria real discreta o continua. Sea Y:=aX +b donde a,b ϵ R y [pic] Es claro que:

[pic]
[pic][pic]
[pic]

[pic]

DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Teorema

Sea X una variable aleatoria real absolutamente continua, con función de densidad [pic]. Si [pic] es unafunción estrictamente monótona y diferenciable, entonces, una función de densidad de la variable aleatoria [pic] está dada por:

[pic]

Donde [pic] es la inversa de [pic]





[pic]DISTRIBUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Demostración. Supóngase que [pic] es una función estrictamente creciente y sea [pic] tal que [pic] para algún [pic].

Entonces:

[pic]
[pic]...