Distribución Normal

7. Distribución normal
Sin duda, la distribución continua de
probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y
por sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o
de Laplace-Gauss.
Fue descubierta y publicada por
primera vez en 1733 por De Moivre.
A la misma llegaron, de forma
independiente, Laplace (1812) y
Gauss (1809), en relación con la
teoríade los errores de observación
astronómica y física .
Anatoli Timoféyevich Fomenko
Gaussian Distributions I and II

1

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de
una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,...
Caracteresfisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un
fármaco.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
muchos factores.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan
a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n >30) y p ‘nipequeño’ (np > 5)
2
‘ni grande’ ( n (1-p) > 5 ).

Distribución normal o gaussiana
• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la
desviación típica, σ.
• Su función de densidad es:

−
1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π

( x −μ) 2
2σ 2

(σ > 0)

La curva normal adopta un número infinito de formas,
determinadas por sus parámetros μ y σ.
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Características de la distribuciónNormal
Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ±∞ )
Simétrica con respecto a la media (µ) donde coinciden la mediana (Mn) y
la moda (Mo).
Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ.

Puntos
de
inflexión

−∞

σ

σ

µ - σ µ, Mo, Mn µ + σ

+∞
4

Distribución normal con µ =0 para varios valores σ

1.6

σ=0.25

1.2

σ=0.5σ=1

p(x)

0.8

0.4

0
-2.50

-1.50

-0.50

0.50
x

1.50

2.50
5

−
1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π

( x −μ) 2

(σ > 0)

2σ 2

σ=5

σ=5

σ = 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.
6

N(μ, σ): Interpretación
geométrica

• Podemos interpretar la
media comoun factor
de traslación.
• Y la desviación típica
como un factor de
escala, grado de
dispersión,…
7

N(μ, σ): Interpretación probabilista
• Entre la media y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aproximadamente el
68%.
• Entre la media y
dos desviaciones
típicas aprox. 95%
•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
–a distancia σ,

tenemos probabilidad 68%

–a distancia 2 σ,

 tenemos probabilidad 95%

–a distancia 2’5 σ

 tenemos probabilidad 99%

8

1
N (μ, σ) = P( x) =
e
σ 2π

( x −μ) 2
−
2σ 2

Podemos obtener la función de
distribución F(x) integrando la
función de densidad de probabilidad:

1
F ( x) =
σ 2π

x

∫e

( v −μ) 2
−
2σ 2

dv

−∞

De modo que la probabilidad de unavariable aleatoria normal X en un
intervalo a ≤ x ≤ b es:
b

1
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a ) =
∫e
σ 2π a
En particular:

1
σ 2π

∞

∫e

( v −μ) 2
−
2σ 2

( v −μ) 2
−
2σ 2

dv

dv = 1

−∞

¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!
Tabularemos sus valores numéricos...

9

¿Cómo calcular probabilidades asociadas
a una curva normal específica?Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores, es
impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles
distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la
distribución normal reducida o tipificada.
Se define una variable

z=

x -µ
σ

Es una traslación , y un cambio de escala de
la variable original.
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La nueva variable z se distribuye como una...