DISTRIBUCI N DE MUESTREO


DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO
Es la distribución de probabilidad de una estadística, es una función de las variables aleatorias que se observan en la muestra, que resulta de un número infinito de muestras aleatorias de tamaño, mutuamente independientes; provenientes de la población de interés.
El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Unapoblación finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. 
La distribución de muestreo es la distribución de probabilidad de una muestra de una población enlugar de toda la población.
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva deGauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.
Sea  la función de densidad de la distribución normal definida como

Con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad sea, a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variablesaleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

Para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviaciónestándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar (0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

Donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.
Sea X1, X2, ..., Xn, un conjunto de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, cadauna de ellas con función de distribución F, y supongamos que E(Xk) = μ y var(Xk) = σ2 para cualquier elemento del conjunto. Si designamos a la suma normalizada de n términos con el símbolo:


Entonces la sucesión de sumas normalizadas converge en ley a la variable aleatoria Normal tipificada Z ~ N(0, 1), es decir:

El Teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (como puedenser independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita), la suma de un gran número de variables aleatorias se distribuye aproximadamente como una normal.
La importancia práctica del Teorema del límite central es que la función de distribución de la normal puede usarse como aproximación de algunas otras funciones de distribución. Por ejemplo:
Una distribución binomial deparámetros n y p es aproximadamente normal para grandes valores de n, y p no demasiado cercano a 1 ó 0 (algunos libros recomiendan usar esta aproximación sólo si np y n(1 − p) son ambos, al menos, 5; en este caso se debería aplicar una corrección de continuidad).
La normal aproximada tiene parámetros μ = np, σ2 = np(1 − p).
Una distribución de Poisson con parámetro λ es aproximadamente normal para grandes valores deλ.
La distribución normal aproximada tiene parámetros μ = σ2 = λ.
La exactitud de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten y de la tasa de convergencia a la distribución normal. Se da el caso típico de que tales aproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución. El Teorema de Berry-Esséen proporciona un límite superior general del error de...