Distribucion gamma y exponencial

DISTRIBUCION GAMMA Y EXPONENCIAL

Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en lasinstalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente utilizan la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite quela distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.
La distribución gamma adquiere su nombre de la función gamma la cual se define como:
Γ(α)= ∫_0^∞▒X^(α-1) е^(-х) dx
Para α > 0Cuando se integra por partes con u = х^(α-1) y dv=е^(-x) dx, se obtiene,
Γ(α)= -e^(-x) ├ X^(α-1) ┤| ■(∞@0)+∫_0^∞▒е^(-х) (α-1) x^(∝-2) dx
=(α-1) ∫_0^∞▒〖x^(∝-2) е^(-х) 〗 dx
Para α > 1, lo cualproporciona la fórmula recursiva:
Γ(α)= (α-1)Γ(α-1)
La aplicación repetida de esta fórmula da:
Γ(α)= (α-1)(α-2)Γ(α-2)
=(α-1)(α-2)(α-3)Γ(α-3),
Y así sucesivamente. Nótese que cuando α = n, donden es un entero positivo,
Γ(n)= (n-1)(n-2),…,Γ(1)

Sin embargo por definición de función gamma,
Γ(1)=∫_0^∞▒е^(-х) dx=1

Y de aquí que,
Γ(n)= (n-1)!
Una propiedad importante de la funcióngamma, es que Γ(1/2)= √π

Distribución gamma La variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros α y β, si su función de densidad es:
f(x)={1/(β^α Γ(α))┤ x^(α-1) e^(-x/β),x>0
En cualquier otro caso, donde α > 0 y β > 0
Algunas alternativas de funciones de densidad se pueden ver en la gráfica del lado derecho. Siendo los parámetros de forma (α) y escala (λ)respectivamente: α=1, λ=1
α=2, λ =1; α=7, λ =1.


La media y la variancia de la distribución gamma pueden obtenerse utilizando la función gamma y sus propiedades especiales mencionadosantes. Para la media tenemos que
µ=E(X)=1/(β^∝ Γ(α)) ∫_0^∞▒〖x^α e^(-x/β) dx〗
Y, después de sustituir y=x/β, obtenemos
µ=1/β^(∝Γ(α)) ∫_0^∞▒〖y^α e^(-y) dy〗
=(β^2 Γ(α+2))/(Γ(α)) = α β.

Con métodos...