Distribucion Normal Matlab

Distribuciones de Probabilidad
Normal [Gaussiana]

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf está dado por,
1
# (x # µ )2 / (2! 2 )
f X (x ) =
e
2" !
• La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En
este universo, la naturaleza se comportagaussianamente.
• El teorema del límite central garantiza que cualquier otra
distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen
un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras
independientes para cualquier distribución con valor esperado
y varianzas finitos converge a la distribución normal conforme
el tamaño de muestras tiende a infinito”.
•
El primer uso de la distribución normalfue la de hacer una
aproximación continua a la distribución binomial.
Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf está dado por,
1
# (x # µ )2 / (2! 2 )
f X (x ) =
e
2" !
• La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En
este universo, lanaturaleza se comporta gaussianamente.
• "Everybody believes in the Normal frequency distribution: the
experimenters, because they think it can be proved by
mathematics; and the mathematicians, because they believe it
has been established by observation" (Whittaker and Robinson
1967, p. 179).
Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Normal Frequency Distribution." Ch. 8 in The
Calculus of Observations: ATreatise on Numerical Mathematics, 4th ed.
New York: Dover, pp. 164-208, 1967.
Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal: valor esperado
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal
(guassiana) si su pdf, representado como N(µX, σ2X), está dado
por,
1
# (x # µ ) / (2! )
f X (x ) =

e

2

2

2" !
µ X = E (X ) =

1
2% $

Con:
Haciendo x = x-µ+µ,se tiene:
"
1
# (x # µ ) / (2$ )
(
)
µ (x ) = E (x ) =
x
#
µ
e
dx +
2 !# "
2

2

2%$

!

"

xe

# (x # µ )2 /( 2$ 2 )

#"

µ
2%$ 2

!

"

2
2
e #(x # µ ) / (2$ )dx

#"

Substituyendo y=x-µ en la primera integral se obtiene:

1
E (X ) =
2% $

!

"

#"

ye

Introducción a la Probabilidad

# y 2 / 2$ 2

"

dy + µ ! f X (x )dx = µ
#"

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal: Varianza
Con: $X2 = E[X # µ X ]2 = 1 !" (x # µ X )2 e #(x # µ ) /( 2$ )
2% $ #"
Pero, por definición:
$
% (x % µ )2 / (2" 2 )
dx = " 2!
#%$e
Tomando la derivada con respecto a σ, se obtiene:
2

%

d$ e

# (x # µ )2 /( 2" 2 )

#%

d"

dx

=$

%

#%

(x # µ )2 e #(x # µ ) /( 2"
2

"

3

Y multiplicando ambos lados por
1
2% $

#

2

"!# (x ! µ ) e

" 2 / 2!

2

)

2

dx = 2!

se tiene que:

( )dx = $ 2 = $ 2 = Var( X )
X

! (x ! µ )2 / 2$ 2

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal o Gaussiana
•

Se usa la notación N(µ; σ2) para denotar que la variable aleatoria
X es normal con promedio µ y varianza σ2.

•

A una variable aleatoria normal Z con promedio cero y varianza
1 se le llama variable aleatoria normal estándar:
f X (x ) =

•

1 "(x )2 / 2
e
! N (0;1)
2#Suponga que X tiene distribución normal N(µ; σ2). La variable
aleatoria estandariza se obtiene a partir de la distribución de X,
substituyendo: Z = (X-µ)/σ.

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Regla 68-95-99.7
1 "(x )2 / 2
f X (x ) =
e
! N (0;1)
2#

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Propiedades de la distribución
normal
1.
2.

Si X~N(µ,σ) ya, b son dos constantes reales arbitrarias,
entonces: aX+b~N(aµ+b, (aσ)2)
Si X~N(µX,σX) y

Y~N(µY,σY) son variables aleatorias

independientes normalmente distribuidas, entonces:
a. La suma está distribuida normalmente, así que:
U = X+Y ~N(µX+µY, σ2X +σ2Y)
b. La resta está distribuida normalmente, así que:
U = X-Y ~N(µX-µY, σ2X +σ2Y)

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