Distribuciones Bidimencionales

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Es de interés considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas

Variable Aleatoria Bidimensional
Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado. Sean X = X(s) y Y = Y(s) dosfunciones que asignan un número real a cada resultado s[pic]S. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional –vab-.
Simbólicamente tenemos

[pic]




Observaciones
1. Interesan más que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen así:
(X[s], Y[s]) [pic] (X,Y)
2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R [pic][pic]
3. P (X[s] [pic] a, Y[s] [pic] b) [pic]P (X [pic] a, Y [pic] b)
4. (X,Y) es [pic]
(X,Y) puede ser vab mixta, o sea, continua y discreta por tramos.



Función De Probabilidad Conjunta Bivariada
Definición: La función que asocia a cada resultado (X, Y) [pic] R[pic] un numero real f(x,y) se denomina función de probabilidad conjunta bivariada si:
1. f(x,y) [pic] 0 para todo (x,y)[pic]

2. 1 = [pic][pic]Observaciones
[pic]

- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la región R vale 1
- La proyección de z = f(x,y) sobre el plano x,y es la región dominio R[pic] donde f(x, y)>0 así es claro que
0 [pic]

Ejemplo
Si f(x, y) es una fdp divariada definida positivamente para todo (x,y)ЄR=[5,10]X[4,9] en la figura siguiente, Halle c y P(X[pic]Y).
[pic]
[pic] dxdy = 1 entonces [pic]= 1 [pic] C = [pic]

P(X[pic]Y) = [pic] [pic]dxdy ó [pic] [pic]dydx
= [pic] [pic] dy ó [pic] [pic] dx
=[pic] [pic] ó [pic] [pic]
P(X[pic]) = [pic]
Obteniendo el mismo resultado.

Función De Probabilidad Acumulativa Bidimensional
Sea (X,Y) una v a b con fdp f(x,y), entonces su función de distribución acumulada es:
F (X,Y) = P (X[pic]x, Y[pic]y)Observación
Asi como [pic] = f(x) para X v a c unidimensional se tiene que [pic] = f(x,y) donde quiera que F(x,y) es diferenciable.
Distribución Uniforme Bivariada
Decimos que (X,Y) v a b se distribuye uniformemente en R[pic] si

f(x,y) = [pic]

Es claro que: K es el número finito de puntos de R si (X, Y) es una v a b discreta
ó K es el inverso del áreafinita de la región R si (X, Y) es una vab continua
Ejercicio
Sea R = {(x,y) : 0[pic] x [pic] 1 [pic] x2 [pic] y[pic] x } si f(x,y) es una fdp uniforme bidimensional definida en R. Halle f y pruebe que:

a. [pic]dy = g(x) = 6 (x-x2), 0 [pic] x [pic] 1
b. [pic]dx = h(y) = 6 ([pic]- y ), 0 [pic] y [pic] 1
¿Cómo es la gráfica de f, g y h?Función De Probabilidad Marginal
En el ejercicio anterior a g(x) y h(y) se les denomina fdp marginales de las vac unidimensionales X y Y, diremos en general que si f(x,y) es la fdp conjunta de una vac bibimensional (x,y) entonces

g(x) = [pic] dy y h(y) = [pic] dx
son la fdp marginales de las va unidimensionales x y y.

Asi P (c [pic] x [pic] d) = P (c [pic] x [pic] d, -[pic] [pic] Y[pic] [pic])
= [pic] dydx = [pic] dx
Ejercicio
Sea f(x,y) = 2 (x+y-2xy) 0 [pic] x [pic] 1, 0 [pic] y [pic] 1. Halle las fdp marginales de las vac X y Y, y pruebe que son fdp.

En efecto [pic]

Ejercicio
Sea f(x,y) = x2 + [pic] 0 [pic] x [pic] 1, 0 [pic] y [pic] 2.
Grafique la región R donde f es positiva, demuestre que f es una fdp, pruebe que P (X + Y [pic] 1) = [pic] y hallelas fdp marginales de X y Y.

Funciones De Probabilidad Condicional
Sea (X,Y) una v a b c con una fdp conjunta f. Sean g(x) y h(y) las fdp marginales de las v a c X y Y entonces las fdp condicionales de X dado Y = y, y de Y dado X = x
Son
g(x/y) = [pic], h(y) > 0
h(y/x) = [pic], g(x) > 0

Observe que:
1. [pic] dx = [pic] dy = 1
es...