Distribuciones Continuas

DISTRIBUCIONES CONTINUAS IMPORTANTES
prof. Vladimiro Contreras Tito 8 de octubre del 2011

1.

Distribución uniforme continua

Esta es la más sencilla de las distribuciones continuas. Surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito y su nombre se debe al hecho de que la densidad de la probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme entodo su intervalo de definición. Sea un experimento aleatorio cuya variable aleatoria asociada toma valores en un intervalo finito, de manera que puede tomar cualquier valor de ese intervalo, entonces si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de la misma longitud es la misma, diremos que la variable aleatoria está distribuida uniformemente en ese intervalo.Definición 1.1. Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución uniforme en el intervalo real [a, b], con −∞ < a < b < +∞, si su función de densidad es: f (x) =
1 b−a

0

a≤a≤b en el resto

Abreviadamente lo indicamos por X ∼ U (a, b) en donde a y b son los parámetros. La función de distribución de una X ∼ U (a, b) está dado por:  xb Teorema 1.1. Si X ∼ U (a, b)entonces E(X) = b+a 2 y V (X) = (b − a)2 12

1

2.

Distribución normal

La distribución normal o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza y la industria. Así pues para los siguientes conjuntosde datos, se puede considerar adecuada la distribución normal: Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc. Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud. Las alturas de individuos de una edad y sexo dado. Las medidas físicas de productos manufacturados. La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc. Definición 2.1. Diremos que una variablealeatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución normal de parámetros µ y σ si su función de densidad es:
1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ ) σ 2π

− ∞ < x < +∞

Abreviadamente lo indicamos por X ∼ N (µ, σ 2 ) en donde µ es la media y σ 2 es la varianza. NOTA 2.1. Se verifica que
∞ −∞
1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) = 1 σ 2π

Veamos ahora la representación gráfica de la función de densidad f (x) de la N(µ, σ 2 ). Para ello veremos que se cumplen las siguientes propiedades: 1. f (x) es continua en toda la recta real. 2. f (x) es simétrica respecto de x = µ es decir es simétrica respecto del parámetro µ. 3. f (x) tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas. 4. f (x) es estrictamente creciente cuando x < µ, y estrictamente decreciente cuando x > µ. 5. f (x) presenta un máximo cuando x = µ, esemáximo vale f (µ) = 6. El área total que encierra la curva f (x) el eje X es igual a 1. 2
1 √ σ 2π

3.

Distribución normal estándar o tipificada

1 x−µ 2 1 Veamos que la expresión f (x) = √ e− 2 ( σ ) nos da la función de densiσ 2π dad de una familia de distribuciones normales para los diferentes valores de los parámetros µ y σ. Dentro de esta familia de distribuciones normales hay una muyimportante, que corresponde a los valores de los parámetros µ = 0 y σ = 1, es decir la distribución N (0, 1) y recibe el nombre de distribución tipificada o estándar, cuya correspondiente función de densidad se obtiene haciendo µ = 0 1 x−µ 2 1 y σ = 1 en la expresión f (x) = √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

Definición 3.1. Si la variable aleatoria X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces la variable aleatoria estándar Z =X−µ , tiene distribución normal N (0, 1). En efecto, la σ v.a.estándar Z tiene media E(Z) = 0 y varianza V (Z) = 1. Además la probabilidad:
x1

P [X ≤ x1 ] =
−∞

1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) dx σ 2π

y estandarizando se tiene: x1 − µ X −µ ≤ ]= P[ σ σ Luego P [Z ≤ z1 ] =
x1 −∞
1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) dx σ 2π

1 2 1 √ e− 2 z dz 2π −∞ La función de densidad y la función de distribución...