Distro ji cuadrada
Páginas: 9 (2235 palabras)
Publicado: 3 de marzo de 2010
[pic]
Nombre de la asignatura:
Estadística Administrativa II
Carrera: Licenciatura en Administración
U N I D A D 2
PRUEBAS DE LA BONDAD DEL AJUSTE Y ANÁLISIS DE VARIANZA.
ANÁLISIS JI-CUADRADA
DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles deuna población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza [pic], el estadístico:
[pic]
tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadradacon gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
[pic]
donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y [pic]la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
[pic]
Propiedades de las distribuciones ji-cuadradaLos valores de X2 son mayores o iguales que 0.
La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
Cuando n>2, la media de unadistribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
[pic]
La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
[pic]para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad yestadística de Walpole, la cual da valores críticos [pic](gl) para veinte valores especiales de [pic]. Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo [pic](gl); este valor crítico determina a su derecha un área de [pic]bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y[pic]a o largo del lado superior de la misma tabla.
[pic]
Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos enuna ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar [pic]=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
[pic]
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados delibertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
[pic]
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza [pic]
, tenga una varianza muestral:
Mayor que 9.1
Entre 3.462 y 10.745
Solución.
Primero se procederá a calcular el valor dela ji-cuadrada:
[pic]
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05
Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
[pic]y [pic]
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da...
Nombre de la asignatura:
Estadística Administrativa II
Carrera: Licenciatura en Administración
U N I D A D 2
PRUEBAS DE LA BONDAD DEL AJUSTE Y ANÁLISIS DE VARIANZA.
ANÁLISIS JI-CUADRADA
DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles deuna población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza [pic], el estadístico:
[pic]
tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadradacon gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
[pic]
donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y [pic]la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
[pic]
Propiedades de las distribuciones ji-cuadradaLos valores de X2 son mayores o iguales que 0.
La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
Cuando n>2, la media de unadistribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
[pic]
La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
[pic]para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad yestadística de Walpole, la cual da valores críticos [pic](gl) para veinte valores especiales de [pic]. Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo [pic](gl); este valor crítico determina a su derecha un área de [pic]bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y[pic]a o largo del lado superior de la misma tabla.
[pic]
Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos enuna ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar [pic]=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
[pic]
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados delibertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
[pic]
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza [pic]
, tenga una varianza muestral:
Mayor que 9.1
Entre 3.462 y 10.745
Solución.
Primero se procederá a calcular el valor dela ji-cuadrada:
[pic]
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05
Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
[pic]y [pic]
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da...
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