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Hiperboloide
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases: de una y dedos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

en el sistema de coordenadas 
La revolución alrededor del eje desimetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.


Hiperboloide de una hojaHiperboloide de dos hojas

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas, cuyos ejes son los desimetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

Es decir
.

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

La ecuación inicial se escribetambién xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego: 

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajola misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en laecuación, es decir con un signo «-»:

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y, z, se obtieneuna de estas dos ecuaciones:

           
(1hoja)                                  (2hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una superficie cuya ecuación es, en un sistemade coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:



Estas superficies se obtienen, de las...