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SEÑALES Y SISTEMAS. PROBLEMAS RESUELTOS. CAPITULO V
PROBLEMA 1:
Problema Nº 5.34 Oppenheim
Observe el siguiente sistema:

Determine y(n)
Solución:
El trayecto de arriba produce , almultiplicar por 2Cos(πn/2), traslación del
espectro de x(n). Recordemos que el coseno se puede expresar como la suma dos
exponenciales complejas; por lo tanto aplicando el teorema de modulación cadaexponencial traslada el espectro en + ó - π/2. El resultado de este modulador es
la suma de estas dos traslaciones, como se muestra a continuación:

Este espectro debe ser modificado por el filtro h4(n)el cual produce una función
de transferencia unitaria entre -π/2 y π /2 y cero en el resto. El espectro
resultante será:

Por el trayecto inferior solo queda el espectro de x(n) trasladado de lasiguiente
forma:

Al sumar con la contribución del trayecto superior el espectro queda que
y(n)=δ(n)+(Sen0.5πn)/πn

PROBLEMA 2:
Problema Nº 5.36 Oppenheim
Se quiere diseñar un sistema LIT queal excitarlo con
x(n) = (0.5)n u(n) - 0.25(0.5)(n-1) u(n-1),
produzca a la salida y(n)= (1/3)n u(n).
Transformando tanto x(n) como y(n) tendremos
X(Ω) = ((1-0.25e-jΩ)/(1-0.5e-jΩ))
Y(Ω) =(1/(1-(1/3)e-jΩ))
Así:

A+B=1
-0.25B-(1/3)A=0
-0.25(1-A) -(1/3)A=0

A(0.25-(1/3))=0.25
En este caso la respuesta impulsiva sería:
h(n)= A (0.25)n u(n) + B(1/3)n u(n) - 0.5A(0.25)n-1 u(n-1)-0.5B(1/3)n-1 u(n-1)
b) Para encontrar la ecuación en diferencias de este sistema se toma la definición
de H(Ω)
Esto significa que:
Y(Ω)((1-0.25e-jΩ)(1-(1/3)e-jΩ))=(1-0.5e-jΩ)X(Ω)
Desarrollando:
Y(Ω)(1-((0.25)+(1/3))e-jΩ+(0.25)(1/3)e-j2Ω)=(1-0.5e-jΩ)X(Ω)
Antitransformando:
y(n)- ((0.25)+(1/3))y(n-1)+(0.25)(1/3)y(n-2)= x(n) -0.5x(n-1)
PROBLEMA 3: Problema Nº 5.20 Oppenheim
Sea
X(Ω)= A (Ω) + jB(Ω)Si Y(Ω)=( A (Ω) ejΩ+ B(Ω))
Determine y(n) en función de x(n)
X(Ω) + X*(Ω)= 2A (Ω)
X(Ω) - X*(Ω)= 2jB(Ω)
Por lo tanto Y(Ω)=0.5ejΩ(X(Ω) + X*(Ω))+0.5(X(Ω) - X*(Ω))
Por propiedades
y(n)=...