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TRIGONOMETRÍA

UNIDAD 10

Identidades trigonométricas para el arco doble

Seno del arco doble
Sen2x = 2SenxCosx

o

m

Demostración
Recordar que:
Sen(x + y) = Senx • Cosy + Cosx • Seny
Hacemos y = x, entonces tendremos:
Sen(x + x) = Senx • Cosx + Cosx • Senx
∈
Sen2x = 2SenxCosx
L.q.q.d

a

te

m

a

ti

ca

1

.c

Ejemplos
• Sen20º = Sen2(10º) = 2Sen10º •Cos10º
• Sen4α = Sen2(2α) = 2Sen2α • Cos2α
• 2Sen7º30’ • Cos7º30’ = Sen2(7º30’) = Sen14º60’ = Sen15º
w

.M

θ
θ
θ
• Cos = Sen2 = Senθ
2
2
2
w

2•Sen

w

•

Coseno del arco doble
Cos2x = Cos2x – Sen2x
Demostración
Recordar que:
Cos(x + y) = Cosx • Cosy – Senx • Seny
Hacemos y = x, entonces tendremos:
Cos(x + x) = Cosx • Cosx – Senx • Senx
∈
Cos2x = Cos2x – Sen2x
L.q.q.dEjemplos
• Cos8φ = Cos2(4φ) = Cos24φ – Sen24φ
• Cos50º = Cos2(25º) = Cos225º – Sen225º
• Cos2(A + B) – Sen2(A + B) = Cos2(A + B) = Cos(2A + 2B)
•

Cos2

π
π
π
π
– Sen2 = Cos2   = Cos
8
8
8
4

UNFV–CEPREVI

115

TRIGONOMETRÍA

Cos2x = 1 – 2Sen2x
Demostración
Recordar que:
Sen2x + Cos2x = 1 ∈ Cos2x = 1 – Sen2x
Reemplazando en:
Cos2x = Cos2x – Sen2x ∈ Cos2x = (1– Sen2x) – Sen2x
∈ Cos2x = 1 – 2Sen2x
L.q.q.d
Ejemplos
• Cos86º = Cos2(43º) = 1 – 2Sen243º

y

y
2

•

Cosy = Cos2   = 1 – 2Sen2

•
•

1 – 2Sen21º = Cos2(1º) = cos2º
1 – 2Sen2(45º – θ) = Cos2(45º – θ) = Cos(90º – 2θ) = Sen2θ

2

1

.c

o

m

Cos2x = 2Cos2x – 1

w

w

w

.M

a

te

m

a

ti

ca

Demostración
Recordamos que:
Sen2x + Cos2x =1 ∈ Sen2x = 1 – Cos2x
Reemplazando en:
Cos2x = Cos2x – Sen2x ∈ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x)
∈ Cos2x = 2Cos2x – 1
L.q.q.d
Ejemplos

 9º 
 = Cos2(4º30’) = 2Cos24º30’ – 1
2

•

Cos9º = Cos2 

•
•
•

Cos6γ = Cos2(3γ) = 2Cos23γ – 1
2Cos211º15’ – 1 = Cos2(11º15’) = cos22º30’
2Cos2(30º + α) – 1 = Cos2(30º + α) = Cos(60º + 2α)

Degradación del exponente “2” o “cuadrado”

Lasfórmulas expuestas a continuación son empleadas en expresiones
trigonométricas, donde se presenten “senos” o “cosenos” de ciertos arcos
elevados al exponente “2”.

Degradación del “cuadrado” del seno de un arco simple “x”
Se ha demostrado que:
Cos2x = 1 – 2Sen2x ∈
116

2Sen2x = 1 – Cos2x
UNFV–CEPREVI

TRIGONOMETRÍA

Ejemplos
• 2Sen218º = 1 – Cos2(18)º = 1 – Cos36º

2Sen2 2α 1 −Cos2(2α) 1 − Cos4α
=
=
2
2
2

•

Sen22α =

•
•
•

2Sen2(a - b) = 1 – Cos2(a - b) = 1 – Cos(2a – 2b)
2Sen222º30’ = 1 – Cos2(22º30’) = 1 – Cos44º60’ = 1 – Cos45º
1 – Cos8θ = 1 – Cos2(4θ) = 2Sen24θ

•
•

A
A
1 – CosA = 1 – Cos2   = 2Sen2
2
2
37º 

 37º  = 2Sen218º30’
1 – Cos37º = 1 – Cos2 
 = 2Sen2 

2
2

Degradación del “cuadrado” del coseno de unarco simple “x”
Se ha demostrado que:
Cos2x = 2Cos2x – 1 ∈

o
.c
1

ca

Ejemplos
• 2Cos23φ = 1 + Cos2(3φ) = 1 + Cos6φ

m

2Cos2x = 1 + Cos2x

ti

2Cos2 75º 1 + Cos2(75º ) 1 + Cos150º
=
2
2
2
α
α
2Cos2 = 1 + Cos2   = 1 + Cosα
2
2

m

a

Cos275º=
=

.M

w

w

•
•
•

4Cos210º = 2[2Cos210º] = 2[1+Cos2(10º)] = 2[1+Cos20º] = 2+2Cos20º
1 + Cos40º = 1+ Cos2(20º) = 2Cos220º
1 + Cos10b = 1 + Cos2(5b) = 2Cos25b
w

•

a

te

•

x+ y
x+ y

 = 2Cos2 
2
2
53º 
2  53º 
2
• 1 + Cos53º = 1 + Cos2 

 = 2Cos 
 = 2Cos 26º30’
2
2
•

1 + Cos(x + y) = 1 + Cos2 

Tangente del arco doble
Tan 2x =

2Tanx
1 − Tan2 x

Demostración
Recordamos que:
Tan(x + y) =

Tanx + Tany
, hacemos y = x
1 − Tanx• Tanx

UNFV–CEPREVI

117

TRIGONOMETRÍA

∈

Tan( x + x ) =

∈ Tan2x =

Tanx + Tanx
1 − Tanx • Tanx

2Tanx
1 − Tan2 x

L.q.q.d

Ejemplos
•

Tan36º = Tan2(18º) =
2Tan8º

•

1 − Tan 2 8º

2Tan18º
1 − Tan2 18º

= Tg2(8º)= Tg16º

2Tan2θ

•

Tan4θ = Tan2(2θ) =

•

α
2Tan 
2
  = Tan 2  α  = Tanα

2

2 α 
1 − Tan  

2...