Ec1723 02 Boole

Universidad Simón Bolívar
Departamento de Electrónica y Circuitos
EC1723 – Circuitos Digitales
Prof. Osberth De Castro

Clase

02
Algebra Booleana
Lógica Digital, Operaciones , funciones y circuitos lógicos







Lógica Digital: operaciones básicas e implementación eléctrica. Posibilidades.
Algebra de operaciones lógicas – Algebra de Boole.
Teoremas, manipulaciones y minimización deexpresiones lógicas.
Funciones lógicas: Representaciones básicas y canónicas, tablas de la verdad.
Circuitos lógicos: compuertas lógicas

Basado en: Daniel Gajski, Circuitos Digitales; John Wakerly, Diseño Digital.

Lógica Digital (Lógica Binaria)


Las operaciones aritméticas binarias son complejas
en sí mismas. Son operaciones entre números.



Para implementarlas físicamente (eléctricamente) seutilizan operaciones mucho mas sencillas como
bloques básicos de construcción:



Operaciones Lógicas: son las operaciones básicas
entre “bits” que permitirán la construcción de
operaciones mas complejas, como las aritméticas.

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2

Operaciones lógicas básicas
AND
A = B (AND) C //A es cierto si B y C son ciertas (ambas).


OR
A = B (OR) C

// A es cierto si B ó C sonciertas (alguna).

NOT
A = (NOT)B

//A es cierta si B no es cierta.







Estas operaciones pueden ser implementadas físicamente
como los niveles de voltaje correspondientes a “1” y “0”,
considerando a A, B y C variables binarias (sólo pueden tomar
valores de 1ó 0).
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Operaciones lógicas básicas (con switches y switch cerrado = 1)
AND

OR

NOT
V

V
B

A

B

V

A
C

CA’
B

GND
GND

GND

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4

Operaciones lógicas básicas (dispositivos electrónicos)


A los dispositivos lógicos electrónicos se les llama
“compuertas” lógicas (Logic Gates)

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5

Operaciones lógicas básicas (Representaciones matemáticas)


AND




OR




C=A B

C=A+ B

NOT


C = A’

A

B

C

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

A

B

C

0

00

0

1

1

1

0

1

1

1

1

A

C

0

1

1

0

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Las “Tablas de la verdad”
Son tablas que describen
el comportamiento de la
función para todas las
combinaciones posibles.

6

Funciones Lógicas


Utilizando combinaciones de las operaciones básicas se
pueden construir funciones mas complejas:
P = (A + B) ● C’

A

B

C

P

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

10

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

P = A’BC’ + AB’C’ + ABC’
P = (A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B’+C’)
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7

Algebra Booleana


Las funciones lógicas pueden ser muy grandes.



Es importante en la implementación física que el
número de dispositivos (operaciones) sea mínimo:



Costos
Tiempo de respuesta



Utilizar
herramientas
de
manipulación
deexpresiones booleanas permite controlar el tamaño
de los circuitos, y manejar parámetros especiales de
implementación.



Algebra Booleana
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8

Algebra Booleana


Suponiendo variables binarias (booleanas):
x, y, w, z



Axiomas Básicos:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

x = 0 si x ≠ 1
y
Si x=0  x’=1 y
0 0 = 0
11=1
01=10=0
1+1=1
0+0=0
1+0=0+1=1

x=1 si x≠0
Si x=1  x’ =0

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9

Algebra Booleana


Teoremas de una variable:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)



x + 0 = xx  1 = x
(identidad)
x + 1 = 1x  0 = 0
(elemento neutro)
x+x=xxx=x
(idempotencia)
(x’)’ = x (involucion)
x + x’ = 1
x  x’ = 0
(complemento)

Teoremas de dos y tres variables
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

x+y=y+x
xy=y x
(conmutatividad)
(x+y)+z = x+(y+z)
(x  y)  z = x  (y  z)(Asociatividad)
x  y + x  z = x  (y+z) (x+y)  (x+z)=x+(y  z) (Distributiva)
x+xy=x
x  (x+y) = x
(cobertura)
x  y + x  y’ = x (x+y)  (x+y’) = x
(combinación)
xy + x’z + yz = xy + x’z (x+y)(x’+z)(y+z) = (x+y)(x’+z) (consenso)
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Algebra booleana


Teoremas de n variables
(1) x

+x+...+x=x
xx…x=x
(2) (x1  x2  …  xn)’ = x1’ + x2’ + … + xn’
(3) [F(x1, x2, …,...