ECDIF5

Tema 5: Ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas
5.1 Primer método de solución
En la e.d. homogénea

dy
= f ( x, y )
dx

(1)

donde, de acuerdo con lo visto en (3.3), f(tx, ty) =f(x, y), se sustituye
(2)
y = xv
y su correspondiente derivada:

dy
dv
= v+x
dx
dx

(3)

Después de simplificar, la ecuación diferencial resultante será de variable separable (v y x), que
puede resolverse porlos métodos dados en el tema 4. La solución para (1) requerida se obtiene
haciendo de nuevo el cambio de variable.

5.2 Método alterno de solución
Transformando la e.d. en:

dx
1
=
dy f ( x , y )

(4)

y después sustituyendo
(5)
x = yu
y su correspondiente derivada

dx
du
=u+ y
dy
dy

(6)

en (4). Después de simplificar la e.d. resultante, será de variable separable (en este caso u,y),
que puederesolverse por los métodos vistos en el tema 4. La solución requerida para (4) se
obtiene entonces haciendo de nuevo el cambio de variable.
Como cualquier método de solución requiere resolver una e.d. separable asociada, la discusión
del tema 4 cobra importancia. Generalmente es indistinto el método de solución que se use. En
otras ocasiones, una de las sustituciones (2 o 5) es definitivamente mejorque la otra. En estos
casos, la mejor sustitución es visible generalmente por la forma de la ecuación diferencial en sí
misma.

Problemas resueltos
1. Resolver y' =

y+x
x

Solución:
Sustituyendo (2) y (3) en la e.d., obtenemos:

v+x

dv xv + x
=
dx
x

que puede simplificarse algebraicamente en

x

1
dv
= 1, dx − dv = 0
dx
x

Esta última ecuación es separable. Su solución es
v = ln x − C ∴ v =ln kx
(1)
donde se tiene C = – ln |k|, notando que ln |x| + ln |k| = ln |kx|. Finalmente, sustituyendo v =
y/x en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada que es y = x ln |kx|.
2. Resolver y' =

2 y 4 + x4
xy 3

Solución:
Sustituyendo (2) en (3) en la e.d. obtenemos

v+x

dv 2 (xv )4 + x 4
=
dx
x( xv )3

que puede simplificarse algebraicamente en

x

dv v 4 + 1 1
v3
= 3 , dx − 4dv = 0
dx
x
v
v +1

Esta última ecuación es separable, su solución es
(1)

ln x −

(

)

1
ln v4 + 1 = C ∴ v4 + 1 = (kx )4
4

donde se tiene C = – ln |k|, y luego se usan las identidades ln |x| + ln |k| = ln |kx|, 4 ln |kx| = ln
(kx)4.
Finalmente, sustituyendo v = y/x en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial
dada que es
(2)

(C

y 4 = C1 x8 − x 4 ,

1

= k4

)

3. Resolver laecuación diferencial del problema anterior usando las ecuaciones (4, 5 y 6)
Solución:
Primero transformamos la e.d. en

dx
xy 3
=
dy 2 y 4 + x4
Luego, sustituyendo (5) y (6) en esta nueva e.d. se obtiene

u+ y

( yu ) y 3
du
=
dy 2 y 4 + ( yu )4

que puede simplificarse algebraicamente en

y

du
u + u5
=−
,
dy
2 + u4

1
2 + u4
dy +
du = 0
y
u + u5

Esta última ecuación es separable; usando fraccionesparciales

2 + u4
2 + u4
2
u3
=
=
−
u 1 + u4
u + u5 u 1 + u 4

(

)

obtenemos

1
ln y + 2 ln u − ln1 + u 4 = C
4

que puede escribirse como
(1)
ky 4 u 8 = 1 + u 4
donde C = –1/4 ln |k|, reemplazando u = x/y, ver (6) en (1), se tiene de nuevo (2) del
problema 2.

2 xy

4. Resolver y' = 2
x − y2
Solución:
Sustituyendo (2) y (3) en la e.d. tenemos

v+x

dv
2 x( xv )
= 2
dx x − ( xv )2

que puedesimplificarse algebraicamente en

(

)

dv
v v2 + 1
x
,
=− 2
dx
v −1

(1)

v2 −1
1
dx + 2
dv = 0
x
v v +1

(

)

Usando fracciones parciales, se puede desarrollar (1) en

⎛ 1
1
2v
dx + ⎜⎜ − + 2
x
⎝ v v +1

(

)

⎞
⎟dv = 0
⎟
⎠

La solución de esta ecuación separable es ln |x| – ln |v| + ln (v2+1) = C, que puede
simplificarse en
(2)
x(v2 + 1) = kv,
(C = ln |k|)
Sustituyendo v = y/x en (2), encontramos lasolución de la e.d. dada que es
x2 + y2 = ky
5. Resolver y' =

x2 + y 2
xy

Solución:
Sustituyendo (2) y (3) en la e.d. tenemos

v+x

dv x 2 + ( xv )
=
dx
x( xv )

que puede simplificarse algebraicamente en

x

dv 1
= ,
dx v

1
dx + vdv = 0
x

La solución de esta ecuación separable es ln |x| – v2/2 = C, que puede simplificarse en
(1)
v2 =ln x2 + k,
(–2C = k)
Sustituyendo v = y/x en (1),...