Resumen De ED Lineales Homog Neas Coef

Páginas: 5 (1027 palabras) Publicado: 7 de mayo de 2015
UNIVERSIDAD PERUANA
LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA

an

d ny
d xn

 an 1

d n 1y
d x n 1

   a1

dy
 ao y  Rx 
dx

Ing. Hélar Véliz Fernández
2013

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Ing. Hélar Véliz Fernández

2

Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes
Homogéneas de Orden “n”
FORMA:

an

d ny
d xn

 an 1

donde: a o , a1, a 2 ,, a n

d n 1 y
d x n 1

   a1

dy ao y  0
dx

 R

Polinomio Característico:

P r   a n r n  a n 1 r n 1    a1 r  ao  0
Ecuación Característica:

a n r n  a n 1 r n 1    a1 r  ao  0
Encontramos sus “n” raíces:

r1 , r2 ,  , r n
Los cuales pueden ser:
 Reales distintos
 Reales de multiplicidad o
 Números complejos.
Consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómicaPr   0 son:
Raíces real y diferente:

r1  r2  r3    r n
Sistema Fundamental es:
r x
r x r x
r x
e 1 , e 2 ,e 3 , , e n

Solución general es:
r x
r x
r x
y  c1 e 1  c 2 e 2    c n e n

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Ing. Hélar Véliz Fernández

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SEGUNDO CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómica Pr   0 son:
Algunas raíces son múltiples y las otras raíces reales son diferentes

r1 r2  r3    r k  r
Donde r es la raíz de multiplicidad k y n – k son las demás raíces distintas.
Sistema Fundamental es:

e r x , x e r x , x 2 e r x ,  x k 1 e r x ,

r
x
r x
e k 1 ,  , e n

Solución general es:
r
x
r x
y  c1 e r x  c2 x e r x  c3 x 2 e r x    ck x k 1 e r x  ck 1 e k 1    cn e n

TERCER CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómica Pr   0 son:
Algunasraíces son complejas y el resto de raíces son reales y
diferentes:

r1  a  i b ;

r2  a  i b ;

r3  c  i d ;

r4  c  i d

Y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas.
Sistema Fundamental es:
r x
r x
e1 x cos 1x , e1 x sen 1x , e 2 x cos 2 x , e 2 x sen 2 x ,  , e 5 ,  , e n

Solución general es:

y  c1e1 x cos 1 x  c 2 e1 x sen 1 x  c 3 e 2 x cos  2 x 
rx
r x
c 4 e 2 x sen  2 x  c 5 e 5    c n e n

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

4

Ing. Hélar Véliz Fernández

Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas de
Coeficientes Constantes
Forma:

a n y ( n )  a n 1 y ( n 1 )    ao y  R( x )

(1)

Donde: ao , a1, a2,  , an  R
Solución:

y  yg  y p

Cálculo de la solución particular y p

Rx  de la ecuación (1) tiene la forma:
R x   eax  Pn x  cos  x   Qm x  sen  x  
Donde:

Pn x  y Qm x  son polinomios de grado n y m respectivamente,
entonces la solución particular y p de la ecuación (1) es de la forma:



~
~
y p  x s e a x Pk x  cos  x   Qk x  sen  x 



ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Ing. Hélar Véliz Fernández

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Donde: k  máx n ; m  y
s: es de orden de multiplicidad de la raíz r    i  ;~
~
Pk x  y Qk x  son polinomios en x de grado k,
Consideremos los siguientes casos:

1º Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R x   Pn x 
a)

Si r  0 no es raíz de la ecuación característica

Pr   0 entonces la solución particular es:

~
y p  Pn x 
b)

Si r  0 es raíz de la ecuación característica

Pr   0 entonces la solución particulares:
~
y p  x s Pn x 
Donde: s es la multiplicidad de r  0

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Ing. Hélar Véliz Fernández

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2º Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R x   e x Pn x 
Donde  es real, entonces:
a) Si r   no es raíz de la ecuación característica

Pr   0 entonces la solución particular es:

~
y p  e x Pn x 

b) Si r   es raíz de laecuación característica

Pr   0 entonces la solución particular es:

~
y p  x s e x Pn x 

Donde: s es la multiplicidad de r  

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Ing. Hélar Véliz Fernández

3º Caso:

Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R x   Pn x  cos  x   Qm x  sen  x 

Donde

Pn x  y Q m

son funciones polinómicas de gado n y m...
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