Resumen De ED Lineales Homog Neas Coef
LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
an
d ny
d xn
an 1
d n 1y
d x n 1
a1
dy
ao y Rx
dx
Ing. Hélar Véliz Fernández
2013
ANÁLISIS MATEMÁTICO III
Ing. Hélar Véliz Fernández
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Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes
Homogéneas de Orden “n”
FORMA:
an
d ny
d xn
an 1
donde: a o , a1, a 2 ,, a n
d n 1 y
d x n 1
a1
dy ao y 0
dx
R
Polinomio Característico:
P r a n r n a n 1 r n 1 a1 r ao 0
Ecuación Característica:
a n r n a n 1 r n 1 a1 r ao 0
Encontramos sus “n” raíces:
r1 , r2 , , r n
Los cuales pueden ser:
Reales distintos
Reales de multiplicidad o
Números complejos.
Consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómicaPr 0 son:
Raíces real y diferente:
r1 r2 r3 r n
Sistema Fundamental es:
r x
r x r x
r x
e 1 , e 2 ,e 3 , , e n
Solución general es:
r x
r x
r x
y c1 e 1 c 2 e 2 c n e n
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SEGUNDO CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómica Pr 0 son:
Algunas raíces son múltiples y las otras raíces reales son diferentes
r1 r2 r3 r k r
Donde r es la raíz de multiplicidad k y n – k son las demás raíces distintas.
Sistema Fundamental es:
e r x , x e r x , x 2 e r x , x k 1 e r x ,
r
x
r x
e k 1 , , e n
Solución general es:
r
x
r x
y c1 e r x c2 x e r x c3 x 2 e r x ck x k 1 e r x ck 1 e k 1 cn e n
TERCER CASO:
Cuando las raíces de la ecuación polinómica Pr 0 son:
Algunasraíces son complejas y el resto de raíces son reales y
diferentes:
r1 a i b ;
r2 a i b ;
r3 c i d ;
r4 c i d
Y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas.
Sistema Fundamental es:
r x
r x
e1 x cos 1x , e1 x sen 1x , e 2 x cos 2 x , e 2 x sen 2 x , , e 5 , , e n
Solución general es:
y c1e1 x cos 1 x c 2 e1 x sen 1 x c 3 e 2 x cos 2 x
rx
r x
c 4 e 2 x sen 2 x c 5 e 5 c n e n
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Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas de
Coeficientes Constantes
Forma:
a n y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) ao y R( x )
(1)
Donde: ao , a1, a2, , an R
Solución:
y yg y p
Cálculo de la solución particular y p
Rx de la ecuación (1) tiene la forma:
R x eax Pn x cos x Qm x sen x
Donde:
Pn x y Qm x son polinomios de grado n y m respectivamente,
entonces la solución particular y p de la ecuación (1) es de la forma:
~
~
y p x s e a x Pk x cos x Qk x sen x
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Donde: k máx n ; m y
s: es de orden de multiplicidad de la raíz r i ;~
~
Pk x y Qk x son polinomios en x de grado k,
Consideremos los siguientes casos:
1º Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función
R x Pn x
a)
Si r 0 no es raíz de la ecuación característica
Pr 0 entonces la solución particular es:
~
y p Pn x
b)
Si r 0 es raíz de la ecuación característica
Pr 0 entonces la solución particulares:
~
y p x s Pn x
Donde: s es la multiplicidad de r 0
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2º Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función
R x e x Pn x
Donde es real, entonces:
a) Si r no es raíz de la ecuación característica
Pr 0 entonces la solución particular es:
~
y p e x Pn x
b) Si r es raíz de laecuación característica
Pr 0 entonces la solución particular es:
~
y p x s e x Pn x
Donde: s es la multiplicidad de r
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3º Caso:
Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función
R x Pn x cos x Qm x sen x
Donde
Pn x y Q m
son funciones polinómicas de gado n y m...
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