Econometria Modelo de Regresion Lineal Simple

APUNTES PARA EL CURSO DE ECONOMETRÍA
Sección 2

2.

Modelo de Regresión Lineal Simple

2.1.

Modelo de regresión y esperanza condicional.

ENERO – MAYO 2015

Def. Análisis de Regresión.
Es el estudio de la dependencia de una variable de interés respecto de una o más
variables explicativas. Su objetivo es estimar o predecir la media poblacional de la
variable de interés.
El caso univariado osimple se caracteriza por considerar únicamente una variable
explicativa (X). Si se denota por Y a la variable de interés o variable dependiente,
entonces el objetivo del Análisis de Regresión será estimar la media de Y suponiendo
conocidos los valores de X, es decir, la esperanza condicional E Y X  .
Hay que recordar que si X y Y son variables aleatorias discretas (o continuas), f X ,Y  x, y 

essu función de masa (o densidad) de probabilidad conjunta y f X  x  la función de masa
(o densidad) de probabilidad marginal de X, entonces la función de masa (o densidad) de
f  x, y 
probabilidad condicional de Y X  x está dada por f Y X  y x   X ,Y
, f X x   0 .
f X x 

Proposición

i)

E Y X  x    y f Y X  y x  si X y Y son variables aleatorias discretas.
y

ii)

E Y X  x  





y f Y X  y x dy si X y Y son variables aleatorias continuas.

Para valores fijos de X (X = x), la esperanza condicional de Y es una función de x, es
decir, E Y X  x   g  x  .
Ejercicios E3 y E4 .
Notación: En al Análisis de Regresión Univariado se considerarán las parejas de datos
(Xi, Yi), i = 1, 2,…, n, de modo que los valores fijos de X serán X1, X2,…, Xn. Parasimplificar la notación se denotará a la esperanza condicional por E Y X i  g  X i  .





Def. Función de Regresión Poblacional (FRP). Es el lugar geométrico de las medias
condicionales de la variable dependiente para los valores fijos de la variable explicativa,
es decir, E Y X i  g  X i  .



DAVID RUELAS RODRÍGUEZ



2-1

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Sección 2

ENERO – MAYO 2015

Laforma de la FRP depende del comportamiento aleatorio de X y Y. El análisis de los
datos (Xi, Yi), i = 1, 2,…, n, y la teoría pueden ayudar empíricamente a determinar la
forma de g  X i   E Y X i  .
Por ejemplo, para los datos (X1, Y1), (X2, Y2),…, (X10, Y10) de la figura 2.1 podría
pensarse que la FRP es “lineal”, es decir, E Y X i    0  1 X i , donde 0 y 1 se
denominan coeficientes deregresión. Geométricamente se trata de una línea recta con
ordenada al origen 0 (también llamada intercepto) y pendiente 1.
Figura 2.1
Y
(X8,Y8)

E[Y|Xi ] =  0 +  1 Xi

Desviación positiva
u8 = Y8  E[Y|X8 ] > 0

Desviación negativa
u5 = Y5  E[Y|X5 ] < 0
(X5,Y5)

0
0
0 0

X

Def. Linealidad en variables. Se dice que la FRP es lineal en variables si en
g  X i   E Y X i  sólo aparece Xielevada a la potencia 1 acompañada de constantes. Por

ejemplo, E Y X i    0  1 X i , E Y X i   12 X i y E Y X i  

 0  12 X i
con  3  0 son
ln  3 

FRPs lineales en variables.
Def. Linealidad en parámetros. Se dice que la FRP es lineal en parámetros si en
g  X i   E Y X i  sólo aparecen parámetros individuales elevados a la potencia 1, sin

importar la forma en queaparece Xi. Por ejemplo E Y X i    0  1 X i , E Y X i    0 y
E Y X i    0  1 ln  X i    2 X 12 son FRPs lineales en parámetros, pero E Y X i   12 X i ,
E Y X i    0   0 1 X i y E Y X i  

 0  12 X i
,  3  0 , no lo son.
ln  3 

Ejercicios E5 y E6 .

DAVID RUELAS RODRÍGUEZ

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Sección 2

ENERO – MAYO 2015

En la figura2.1 también se puede observar cómo la esperanza condicional E Y X i  no
necesariamente coincide con los datos Yi para todas las X. La desviación Yi  E Y X i 

(dato Yi correspondiente a Xi menos su respectiva media condicional) puede ser positiva
o negativa.
Def. Perturbación estocástica o término de error (ui).

Son las desviaciones ui  Yi  E[Y X i ] , y son variables aleatorias no...