Econometria

CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE REGRESIÓN

5.1 EL MODELO LINEAL DE DOS BARIABLES

El modelo lineal de dos variables, o análisis de regresión simple, se usa para probar la hipótesis sobre la relación entre una variable dependiente Y, y una variable independiente o explicativa X, y para predicción. El análisis de regresión lineal simple por lo general comienza representando gráficamente el conjunto devalores X y Y sobre un diagrama de dispersión y determinando por inspección si allí existe una relación lineal aproximada

Yi = bo + bi Xi

Como es improbable de que los puntos caigan precisamente sobre la línea, la relación lineal exacta debe ser modificada para incluir un término de perturbación aleatoria, error, o término estocástico, ui :

Ecuación 5.1:

Yi = bo + b1 Xi + ui

Sesupone que el término de error está normalemente distribuido, con valor esperado y media cero, varianza constante y se supone que los términos de error no están correlacionados o relacionados uno con el otro y que la variable explicatorio supone valores fijos en un muestreo repetido (así que Xi y ui no están relacionados tampoco).

5.2 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDIANRIOS

El método de mínimoscuadrados ordinarios es una técnica para ajustar la línea recta óptima a la muestra de las observaciones X y Y. Esto involucra minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales entre los puntos y la línea. Es decir:

Ecuación 5.2
[pic]
Con esta idea se calculan los estimadores para bo y b1:

Ecuación 5.3
[pic][pic][pic]

Ecuación 5.4
[pic]

Ejemplo 5.1 La tabla 5.1 dela figura 5.1 da el rendimiento de maíz en fanegas por acre, Y, resultante del uso de varias cantidades de fertilizante en libras por acre, X, producidas en una granja en cada uno de los años de 1971 a 1980. Encuentre [pic]y [pic]y la ecuación.

[pic]
Figura 5.1 Tabla para el ejemplo 5.1

Al seleccionar “herramientas”, en “análisis de datos” podrá encontrar la opción de “regresión”. Tal y comolo muestra la figura 5.2.
[pic]
Figura 5.2. Opción de regresión en herramientas.

En la siguiente figura 5.3 se muestra como se introducen los datos para obtener una curva de regresión simple:

[pic]
Figura 5.3. Cuadro de diálogo para obtener la curva de regresión simple.

La siguiente figura 5.4 muestra los resultados

[pic]
Figura 5.4 Resultados de la curva de regresión lineal.[pic]= 27.13 y [pic]= 1.66

La ecuación de regresión estimada es:

[pic]

5.3 PRUEBAS DE SIGNIFICACIÓN DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Con el fin de probar la significación de los estimadores [pic] y [pic], podemos usar la distribución t con n – k grados de libertad, donde k es el número de parámetros estimados.
La hipótesis nula es Ho: [pic]= 0,
con la hipótesis alternativa de que H1: [pic]Y
La hipótesis nula es Ho: [pic]= 0,
con la hipótesis alternativa de que H1: [pic]

Ejemplo 5.2. Probar con un nivel de significancia del 5% que los estadísticos [pic] y [pic]son estadísticamente significativos.

Primeramente necesitamos encontrar el valor teórico de t con 10 – 2 = 8 grados de libertad y un nivel de significancia del 5%, de acuerdo a la idea de la figura 5.5 y el cálculoen Excel de la figura 5.6.

[pic]
Figura 5.5. Representación del valor teórico de t

[pic]
Figura 5.6. Cálculo del valor teórico de t

Los valores calculados de t se muestran en los resultados de la regresión, según se resalta en la figura 5.7:

[pic]
Figura 5.7. Valores de t calculados para los estadísticos.

Puesto que t1=13.7 > 2.31. Entonces rechazamos Ho y se acepta que su valores significativo y diferente de cero.

Puesto que t2=16.4 > 2.31. Entonces rechazamos Ho y se acepta que su valor es significativo y diferente de cero.

Por lo tanto [pic] = 27.13 y [pic]=1.66 son estadísticamente significativos.

5.4 PRUEBA DE LA BONDAD DE AJUSTE Y DE LA CORRELACIÓN

El coeficiente de determinación, o R2 se define como la proporción de la variación total en Y explicada...