econometria

Notas sobre Estadística Aplicada

7 MINIMOS CUADRADOS RESTRINGIDOS
71 HIPOTESIS LINEAL GENERAL
La hipótesis lineal general especifica un conjunto de relaciones lineales entre los
parámetros del modelo de regresión lineal. Concretamente, suponiendo q restricciones
lineales independientes entre sí:

a11 β 0 + a12 β1 +
a21 β0 + a22 β 1 +

+ a1k + 1 β k = r1
+ a2 k + 1 β k = r2

aq 1 β0+ aq 2 β 1 +

+ aqk + 1 β k = rq

Plantearemos contrastar las hipótesis siguientes:

H 0 : Rβ = r

V/S

H1 : Rβ ≠ r

Esto es lo que se conoce como ¨Hipótesis lineal general”.
Notas
El número de restricciones lineales debe ser menor o igual que el número de
coeficientes, q ≤ k.
Si q > k entonces algunas restricciones lineales estarían repetidas y serían
redundantes.
La hipótesislineal general reduce el número de paramétros a estimar de k+1 a k+1 − q.

Modelo de regresión lineal múltiple

Héctor Alvaro Rojas Q.

Notas sobre Estadística Aplicada

Ejemplo
En el modelo de regresión múltiple

y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + u
se desea plantear conjuntamente las iguientes hipótesis

β0 = 3
3β 1 + 5β 2 = 8
2 β1 + 8β 3 = 8
En forma matricial, las treshipótesis se pueden expresar como
⎛ β0 ⎞
⎛ 1 0 0 0⎞⎜ ⎟ ⎛ 3 ⎞
⎜
⎟ ⎜ β1 ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 3 5 0⎟⎜ β ⎟ = ⎜ 8 ⎟
⎜ 0 2 0 8 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 12 ⎟
⎝
⎠ β
⎝ ⎠
⎝ 3⎠

donde

Modelo de regresión lineal múltiple

⎛1 0 0 0⎞
⎜
⎟
R = ⎜0 3 5 0⎟
⎜0 2 0 8⎟
⎝
⎠

⎛ β0 ⎞
⎜ ⎟
β
β =⎜ 1⎟
⎜ β2 ⎟
⎜ ⎟
⎜β ⎟
⎝ 3⎠

⎛ 3⎞
⎜ ⎟
r =⎜ 8 ⎟
⎜ 12 ⎟
⎝ ⎠

Héctor Alvaro Rojas Q.

Notas sobre Estadística Aplicada72 CONTRASTE LINEAL GENERAL
721 Construcción
Formulación de la hipótesis

H 0 : Rβ = r

H1 : Rβ ≠ r

V/S

Estadístico experimental

⎡ R ( x t x )−1 R t ⎤
⎥
t ⎢
⎦
Fc = [ Rb − r ] ⎣
2
qs

−1

[ Rb − r ]

Regla de decisión
Estadístico teórico: Considerando un riesgo α fijo tenemos que,

FT = F ⎡q,n − k + 1,1 − α ⎤
⎣
⎦
Regla de decisión:
Se RECHAZA la hipótesis nula si,Fc > FT
Observación importante
En el contraste lineal general, las hipótesis se pueden plantear según sigue:

H 0 : Rβ − r = 0

V/S

H1 : Rβ − r ≠ 0

Asá las cosas, se rechaza H0 al nivel de significación α si

FC =

(SCECR − SCESR ) /(GLCR − GLSR ) ≥ F ⎡ GLCR − GLSR ; GLSR ⎤
)
⎢(
⎥
⎣
⎦
SCESR / GLSR

en donde SCECR y GLCR son la suma de cuadrados de los errores y losgrados de libertad en
el modelo con restricciones, SCESR y GLSR son la suma de cuadrados de los errores y los

Modelo de regresión lineal múltiple

Héctor Alvaro Rojas Q.

Notas sobre Estadística Aplicada

grados de libertad en el modelo sin restricciones.
Para realizar el contraste de restricciones lineales se pueden seguir los siguientes pasos:
(1) Estimar el modelo sin restricciones
y =xβ + u

y calcular la suma de cuadrados del error, e′e , y sus grados de libertad, n-(k+1).
(2) Estimar el modelo con restricciones
y = x β + u*

Rβ − r = 0

t
y calcular la suma de cuadrados del error, e* e* , y sus grados de libertad, n-(k-q).

(3) Se calcula el pivote de contraste

F=

⎡ et e − et e ⎤ / q
⎢ * *
⎥
⎣
⎦

et e / n − ( k + 1)

(4) Se compara el F con el conel valor crítico w para el cual P ⎡ Fq ,n −( k + 1) > w ⎤ = α . Si F < w,
⎢
⎥
⎣
⎦
se acepta Ho; si F > w, se rechaza Ho.

Modelo de regresión lineal múltiple

Héctor Alvaro Rojas Q.

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722 Ejemplo
Considere el siguiente modelo de regresión lineal múltiple

y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + u
Utilizando los datos siguientes desarrolle el contraste que seplantea.
y

x2

x3

10
2
16
7
12

3
1
5
2
4

5
4
6
4
6

H 0 : β 2 = 10 β 3 v / s H 1 : β 2 ≠ 10 β 3
La hipotesis se puede escribir como:
⎡ β1 ⎤
H 0 : [ 0, 1, −10 ] ⎢ β 2 ⎥ = 0 ⇒ R = [ 0, 1, −10 ] r = 0
⎢ ⎥
⎢ β3 ⎥
⎣ ⎦

⎡ 5.9 ⎤
Rb − r = [ 0, −1,10 ] ⎢ 4.5 ⎥ − 0 = 24.5
⎢ ⎥
⎢ −2.0 ⎥
⎣ ⎦

[ R(x x)−1 R ]
t

t

−1

⎡
⎡ 26.7
= ⎢[ 0, −1,10 ] ⎢ 4.5
⎢
⎢
⎢...