Econometria

Econometría II. Hoja de Problemas 4
SOLUCIONES

1. Analice si los siguientes procesos son estacionarios y, cuando lo sean, determine la
media, la varianza y la función de autocovarianzas.
a ) vt = ε1t + tε2t , siendo ε1t y ε2t dos ruidos blancos independientes entre sí y con
2
2
varianzas σ1 y σ2 , respectivamente.
b ) zt = β1 + β2 t + δt , siendo δt un ruido blanco.
c ) wt = zt − zt−1, siendo zt el proceso del apartado anterior.
d ) ut = yt − yt−1 , siendo yt un proceso AR(1) estacionario con coeficiente φ y
2
varianza del ruido blanco asociado a él igual a σε .
e ) xt = yt − zt , siendo yt el mismo proceso del apartado d) y zt un proceso MA(1)
con coeficiente θ, media cero y varianza del ruido blanco asociado a él igual a
2
σu y siendo yt y zt independientes entre sí.Solución:
a ) La varianza de este proceso es
2
2
V ar(vt ) = σ1 + t2 σ2

que depende del instante t. El proceso no es estacionario.
b ) La esperanza de zt es
E (zt ) = β1 + β2 t
que depende de t. Por tanto no es estacionario.
c ) El proceso wt puede expresarse como
wt = β2 + δt − δt−1 .
El proceso wt es un MA(1) y
E (wt ) = β2
2
γ0 = V ar(wt ) = V ar(δt ) + V ar(δt−1 ) = 2σδ
γ1 =Cov (wt , wt−1 ) = E [(wt − E (wt )) (wt−1 − E (wt−1 ))]
2
= E [(δt − δt−1 ) (δt−1 − δt−2 )] = −σδ
γk = Cov (wt , wt−k ) = E [(δt − δt−1 ) (δt−k − δt−k−1 )] = 0 Si k ≥ 2
El proceso es, por tanto, estacionario.

1

d ) El proceso yt es de la forma: yt = c + φyt−1 + εt , donde εt es un ruido blanco.
Las propiedades de este proceso son
E (yt ) =

c
1−φ

γ0 = V ar(yt ) =

2
σε
1 − φ2γk = φk γ0
Por tanto, las propiedades del proceso ut = yt − yt−1 son:
E (ut ) = E (yt ) − E (yt−1 ) = 0

V ar(ut ) = V ar(yt ) + V ar(yt−1 ) − 2Cov (yt , yt−1 ) = 2γ0 − 2γ1 = 2(1 − φ)γ0
σ2
=2 ε
1+φ
Cov (ut , ut−k ) = Cov (yt − yt−1 , yt−k − yt−k−1 ) = 2γk − γk−1 − γk+1
= 2φk γ0 − φk−1 γ0 − φk+1 γ0 = γ0 φk−1 (2φ − 1 − φ2 )
φ−1
2
.
= −γ0 φk−1 (1 − φ)2 = σε φk−1
1+φ
Como laesperanza, varianza y función de autocovarianzas son finitas y no
dependen de t, el proceso es estacionario.
e ) Como {yt } es un proceso AR(1) estacionario y como {zt } es un proceso MA(1)
E (xt ) = E (yt ) − E (zt ) =

c
c
+0=
1−φ
1−φ

Dado que {yt } y {zt } son independientes:
var(xt ) = var(yt − zt ) = var(yt ) + var(zt ) =

1
2
σ 2 + (1 + θ2 )σu
1 − φ2 ε

Cov (xt , xt−k ) = Cov (yt− zt , yt−k − zt−k ) = Cov (yt , yt−k ) + Cov (zt , zt−k )
2

=

σ
2
φk 1−ε 2 − θσu
φ

σ2
φk 1−ε 2
φ

si k = 1
si k ≥ 2

Como la esperanza, varianza y función de autocovarianzas son finitas y no
dependen de t, el proceso es estacionario.

2

2. Considere el proceso estocástico {yt }∞ generado como yt = z + εt , en el que {εt }
t=1
2
es un ruido blanco con varianza σε . Lavariable z no cambia con el tiempo, tiene
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media cero, varianza σz y está incorrelacionada con εt ∀t. Analice si las siguientes
afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta.
a ) El proceso estocástico {yt } es estacionario.
b ) La función de autocorrelación del proceso {yt } , ρk = Corr(yt , yt−k ) es débilmente dependiente.
Solución:
a)
E [yt ] = E [z ] + E [εt ] = 0
22
V ar (yt ) = E (z + εt )2 = E z 2 + ε2 + 2zεt = σz + σε
t
2
Cov (yt , yt−k ) = E [(z + εt ) (z + εt−k )] = E z 2 + zεt−k + zεt + εt εt−k = σz

Como las medias, varianzas y covarianzas del proceso {yt } son finitas y no
dependen de t, el proceso es estacionario y la afirmación es VERDADERA.
b ) Como el proceso es estacionario, podemos calcular la correlación entre yt e yt−k
como
σ2
cov(yt , yt−k )
= 2z2
corr (yt , yt−k ) =
var (yt )
σz + σε
Vemos que la magnitud de la relación lineal entre yt e yt−k no depende de k ,
sino que es la misma ∀k y la afirmación es FALSA.
3. Sea {zt } un proceso estocástico estacionario que satisface la relación
zt = φ1 zt−1 + φ2 zt−2 + εt ,
2
siendo {εt } un ruido blanco con varianza σε . y con E [εt zt−k ] = 0, para k > 0.
Sabiendo...