ECONOMIA

Semana 1 - Clase 3

Tema 1: Series

20/10/10

Criterios de Convergencia
La pregunta que nos planteamos es la siguinte: Si hacemos que N → ∞ entonces ¿la suma
N
ımite? Existen algunas formas de averiguarlo, a pesar de que s´lo podremos
o
k=1 ak , tiene un l´
calcular la suma de algunas series. En la mayor´ de los casos nos ser´ imposible y nos
ıa
a
tendremos que conformar con sabersi convergen o no, o peor a´n, si una suma parcial
u
converge sin poder calcular el valor de esa suma. Los t´rminos de una serie pueden ser
e
positivos, negativos o n´meros complejos y las series pueden converger (decrecer o crecer
u
hacia un valor finito) diverger (incrementar o decrecer indefinidamente) u oscilar, Existen
una serie de criterios y teoremas de aplicaci´n general queexpondremos a continuaci´n.
o
o

1.

Convergencia Absoluta o Condicional

Para estudiar la convergencia de una serie infinita dada, i.e.,
ai veremos que siempre
podremos asociarle otra de la forma
|ai |, es decir la serie de valores absolutos, con lo cual
garantizamos la positividad (y que sean n´meros reales) de los t´rminos de la serie. Si la
u
e
serie de los valores absolutos
|ai |converge, entonces tambi´n coverger´ la serie original
e
a
ai y diremos que esa serie es absolutamente convergente. Sin embargo si la serie de valores
absolutos diverge, no podremos decir que ai converja. De hecho si converge diremos que es
condicionalmente convergente y, con un rearreglo de sus t´rminos podr´ converger, diverger
e
a
u oscilar.
Teorema: Si

|an | converge, entonces tambi´nconverge
e
∞

an y se tiene que

∞

an ≤
n=1

|an |
n=1

Para una serie de t´rminos positivos el criterio de convergencia m´s intuitivo (necesario
e
a
pero no suficiente) es que en l´
ımite cuando n → ∞ el t´rmino n-´simo tienda a cero. Con lo
e
e
cual tenemos que si esta condici´n no se satisface, la serie diverge.
o
Teorema: Si la serie

an converge, el t´rmino n-´simotiende a cero, esto significa que:
e
e
l´ an = 0 .
ım

n→∞

Notemos que para la serie

∞
n=1

1/n se tiene que

1
= 0,
n→∞ n
sin embargo, como ya vimos anteriormente, esta serie diverge. Esto significa que el teorema
suministra una condici´n suficiente para que exista la divergencia de la serie, es decir, si para
o
l´
ım

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

1

Universidadde Los Andes, M´rida
e

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el t´rmino n-´simo de la serie an no se cumple que tiende a cero cuando n → ∞, entonces la
e
e
serie
an diverge.
Una serie que es convergente pero que no es absolutamente convergente es la siguiente
∞

(−1)n+1
n=1

1
1 1 1
= 1 − + − + · · · = ln(2)
n
2 3 4

porque ya vimos que la serie de los valoresabsolutos asociada a la serie anterior es
∞

n=1

1
n

la cual diverge.

2.

Criterio de Comparaci´n
o

En segundo lugar de simplicidad est´ el criterio de comparaci´n entre un par de series
a
o
de t´rminos positivos. Si conocemos el comportamiento de una de ellas comparamos el de
e
la otra. Esto es, suponga que consideramos dos series: una de prueba ∞ an y una serie
n=0conocida y convergente (o divergente) ∞ an , entonces
n=0 ˜
an converge y ∀ n se tiene que an
˜
˜

an

⇒

an

an
˜

⇒

an converge
n=0

n=0

n=0

n=0

∞

∞

∞

∞

Si

Por otro lado
an diverge y ∀ n se tiene que 0
˜

Si

an
˜

an

⇒

an

an
˜

⇒

n=0

n=0

n=0

∞

∞

∞

∞

an diverge
n=0

Ejemplo Para ilustrar esta estrategiaconsideremos las siguientes series
1 1 1
1
+ + +
+ ··· =
2 3 7 25

∞

n=1

1
n! + 1

En ese caso compararmos con una serie conocida
∞

n=0

1
1
1
1
1
1
1
= + + + + ··· = 1 + 1 + + + ··· = 1 + e
n!
0! 1! 2! 3!
2! 3!
e

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

2

Universidad de Los Andes, M´rida
e

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y es claro...