ecuacion de bernoulli

Ecuación de Bernoulli
Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.
 
 
 Definición
 
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma




donde  y  son funciones reales y continuas en un intervalo  y es unaconstante real diferente de  y  se conoce como ecuación de Bernoulli1.2 
 
Observación: cuando  la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando  se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.
 
 
 
 Teorema
 
La ecuación de Bernoulli


(1.12)


se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .  
Demostración:
Al dividir laecuación 1.12 por , resulta


(1.13)


Usando la regla de la cadena, calculemos  a partir de la sustitución 




Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en




la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
 
Ejemplo:

Resuelva la ecuación




Solución  
Ésta es una ecuación de Bernoulli con ,  y . Para resolverla primero dividamos por Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , la ecuación se transforma en




Simplificando obtenemos la ecuación lineal




Cuya solución es




y al sustituir  se obtiene la solución de la ecuación original




Observación: en esta solución no está incluida la solución , que se perdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una solución singular.
 Ejemplo:

Compruebe que la ecuación diferencial




se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer .
 
Solución  
Como



Sustituyendo obtenemos



la cual es una ecuación de Bernoulli.
  Ecuación de Clairaut
Suponga que  es una función real. Si  la recta tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por




Observe que esta ecuación es una familia decurvas uniparamétricas con parámetro . Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Si  y  tiene una inversa  cerca de , entonces  y podemos reescribir la ecuación de la recta tangente como



La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.
 
 
  Definición [Ecuación de Clairaut]
 
Una ecuación diferencial de primer orden  que puede escribirse en la forma




se conoce como ecuación de Clairaut . Donde  es una función continuamente diferenciable.  
 
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia ,también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.
 
 
 
 Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut]
 
a ecuación de Clairaut


(1.18)


donde  es una función derivable, tiene como solución general  y como solución singular


 
 


Demostración 
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución  para obtener


(1.19)


Derivando amboslados respecto a 
 



de donde obtenemos que




Surgen dos casos
Caso 1: 
Si , entonces  y sustituyendo en la ecuación 1.19 obtenemos la solución general .
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación1.18  por .
Cso 2: 
Si , entonces  y sustituyendo en la ecuación 1.19, es decir




Estas son las ecuaciones paramétricas de una curvadonde  es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.
 
Ejemplo: 
Resuelva la ecuación diferencial




Solución: 
La solución general es la familia de rectas  y como la solución singular está dada por




Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, . En la...