Ecuacion_difusion_teoria

Ecuación de difusión.
INTRODUCCIÓN
La ecuación de difusión es de la forma
∂u
∂2 u
(1)
= α2 · 2
∂t
∂x
Esta ecuación describe la conducción de calor a través de sólidos. Por ejemplo, si se
considerara una barra de sección transversal, uniforme y de material homogéneo,
eligiendo el eje x como eje horizontal de la barra y haciendo coincidir los extremos
de la barra con los puntos x = 0 yx = , la ecuación anterior describiría la variación
de temperatura a lo largo de la barra. La función incógnita u = u(x,t) depende de la
coordenada x de la barra, que variará entre 0 y y del tiempo t, que tomará valores
mayores que 0.
Para resolver la ecuación (1), es preciso imponer ciertas condiciones iniciales y de
contorno sobre los extremos, que surgirán del estudio de algunos de losfenómenos
de naturaleza física en relación con estos procesos de difusión. Algunos tipos de
condiciones de contorno sobre los extremos que pueden imponerse son los
siguientes:
1) Que uno o los dos extremos de la barra se mantienen a temperatura constante,
lo que da lugar a las condiciones
u ( 0, t ) = T1
o bien
u ( l, t ) = T2 ∀t > 0
2) Que uno o los dos extremos de la barra se aíslen paraque no pase calor a través
de ellos, lo que da lugar a las condiciones
u x ( 0, t ) = 0 o bien
u x ( l, t ) = 0 ∀t > 0
3) Otro tipo más general de condiciones de contorno surgen de imponer que el flujo
de calor a través de uno o de ambos extremos de la barra es proporcional a la
temperatura en él, que se expresa en la forma
u x ( 0, t ) − h 1 · u ( 0, t ) = 0 ∀ t > 0
u x ( l, t ) + h 2 · u (l, t ) = 0 ∀t > 0
donde h1 y h 2 son constantes no negativas de proporcionalidad.
Por último, para determinar completamente el flujo de calor en la barra es
necesario conocer la distribución de temperatura en un instante fijo, por ejemplo en
el instante t = 0. Esta es una condición inicial que puede expresarse en la forma
u(x,0) = h(x) 0 ≤ x ≤
Los problemas que se van a resolver en estetema van a consistir en determinar la
solución de la ecuación diferencial (1), sujeta a alguna de las condiciones de
contorno comentadas en cada uno de los extremos y a una condición inicial del tipo
anterior.
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Sea la ecuación
∂u
∂2 u
= α2 · 2
(1)
∂t
∂x
con 0 < x < y t > 0. Supóngase conocida la distribución inicial de temperatura
u(x,0) = h(x) 0 ≤ x ≤(2)
y supóngase que los extremos de la barra se mantienen a temperaturas fijas
u ( 0, t ) = T1
u ( l, t ) = T2 ∀t > 0
(3)
Copyright © 2006 by Tecnun (University of Navarra)

Se comenzará resolviendo el caso homogéneo, es decir, cuando los extremos se
mantienen a temperatura nula, para a continuación centrarse en el caso más
general, que podrá reducirse a éste.
Para resolverlo, seconsidera en primer lugar la ecuación junto con las condiciones
de contorno sobre los extremos y a continuación se impondrá la condición inicial. El
método de resolución empleado es el de separación de variables, que consiste en
buscar soluciones de la forma
u(x,t) = f(x)·g(t)
Derivando y sustituyendo en la ecuación se obtiene
f · g ′ = α 2 · f ′′ · g
dividiendo por el producto f·g
f ′′
1 g′
=2·
f
α g
pero como f es sólo función de x y g es sólo función de t, entonces para que la
igualdad anterior sea cierta el cociente debe ser constante. Llamando λ a tal
constante
f ′′
1 g′
= 2· =λ
f
α g
se obtienen las dos ecuaciones diferenciales siguientes
f ′′ ( x ) − λ · f ( x ) = 0
g′( t ) − λ · α 2 · g( t ) = 0
Pero como u(x,t) debe ser tal que
u(0,t) = 0 y u( ,t) = 0 ∀ t
lafunción f(x) debe verificar las condiciones de contorno
f(0) = 0 y f( ) = 0
Luego, para hallar la solución de la ecuación (1), es preciso resolver el problema de
Sturm-Liouville regular homogéneo para f:
f"(x) - λ·f = 0
f(0) = 0 y f( ) = 0
Al resolver este problema hay que tener en cuenta los tres casos que pueden
presentarse en cuanto a los valores de λ
i) λ = 0
ii) λ > 0
iii) λ < 0...