Ecuaciones diferenciales lineales .Aurora uclm

Tema 2: Ecuaciones diferenciales lineales
2 de octubre de 2012

Índice
1. Ecuaciones lineales de orden superior. Teoría fundamental

1

2. Ecuaciones diferenciales lineales con coecientes constantes

4

2.1. Resolución de la ecuación lineal homogénea . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Resolución de la ecuación lineal completa . . . . . . . . . . . . . . . . 10
En el tema anteriorhemos estudiado los resultados básicos relativos a las ecuaciones diferenciales ordinarias, hemos identicado algunos tipos importantes de ecuaciones de primer orden y desarrollado métodos para su resolución. En este tema
estudiaremos la clase más sencilla de ecuaciones de orden superior al primero, y
abordaremos la resolución de un conjunto particularmente importante de tales ecuaciones, lasecuaciones lineales con coecientes constantes. Estas ecuaciones resultan
indispensables para la resolución de multitud de problemas básicos de la ingeniería,
como la determinación de la posición de un cuerpo que se mueve bajo la acción de
una fuerza central, el pandeo de una viga o la resolución de circuitos eléctricos RLC.

1. Ecuaciones lineales de orden superior. Teoría fundamental
Unaecuación diferencial de orden n se llama lineal si puede escribirse en la forma
a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y + an (x)y = g(x),

1

(1)

donde a0 , a1 , . . . , an y g son funciones denidas en un cierto intervalo I de números
reales. Las funciones a0 , a1 , . . . , an reciben el nombre de coecientes de la ecuación,
y a la función g se le llama término independiente.
Laecuación
a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y + an (x)y = 0,

(2)

que resulta de la anterior al igualar a 0 el término independiente se denomina
ecuación homogénea asociada a la ecuación (1).
El siguiente resultado proporciona una primera información acerca de la estructura del conjunto de soluciones de una ecuación lineal.

Teorema 1.1. La solución general de la ecuación (1)es la suma de una solución
particular yp y la solución general de la ecuación homogénea asociada (2).
Demostración. Sea yh una solución cualquiera de (2) y sea y = yp +yh . Por las reglas
de derivación resulta
(k)
y (k) = yp + yh , para cada k = 1, 2, . . . , n,
(k)

y consecuentemente
n

n

n

ak (x)y

(n−k)

(n−k)
ak (x)yp

=

.

k=0

k=0

k=0

(n−k)

ak (x)yh+

Ahora bien, por denición se tiene
n

n
(n−k)
ak (x)yp

= g(x) y

k=0

Por tanto,

(n−k)

ak (x)yh

= 0.

k=0
n

ak (x)y (n−k) = b(x).
k=0

Supongamos ahora que y es una solución cualquiera de (1) y sea z = y −yp . Entonces
(k)
z (k) = y (k) − yp , para cada k = 1, 2, . . . , n,

y haciendo uso de un argumento análogo al anterior deducimos que
n

ak (x)z(n−k) = 0.
k=0

Así pues, la función y puede expresarse como suma de la solución particular yp y la
función z , que es solución de la ecuación homogénea asociada.
2

Como aplicación del Teorema de Cauchy sobre los problemas de valor inicial
para las ecuaciones de orden superior se obtiene el siguiente resultado de existencia
y unicidad para las ecuaciones lineales con coecientes continuos.Teorema 1.2. Si las funciones a0 , a1 , . . . , an y g son continuas en un intervalo I
de números reales y x0 es un punto cualquiera de dicho intervalo entonces para
cualquier vector (c0 , c1 , c2 , . . . , cn−1 ) ∈ Rn existe una única solución de la ecuación
(1) que satisface las condiciones iniciales
y(x0 ) = c0 , y (x0 ) = c1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = cn−1 .

En otras palabras, elproblema de Cauchy

 a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y = b(x),




 y(x ) = c ,


0
0


y (x0 ) = c1 ,

.
.
.




 (n−1)
y
(x ) = c
0

n−1

tiene solución única.
Es muy fácil comprobar que la solución general de una ecuación lineal homogénea
tiene estructura de espacio vectorial sobre R. El siguiente resultado, que se obtiene
de...