Unidad 4. ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Matemáticas 5.
Calculo Diferencial.
Prof. Karla M. Castilla A.

Unidad 4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales.
4.1. Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace.
4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada deLaplace.
4.3 Problemas de aplicación.

Ingeniería en sistemas computacionales
4° F

Alumno. Mauricio Vázquez Soto

Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.
26 de mayo de 2011.

Índice

4.1 Solución Ecuación Diferencial Lineal Condiciones Iniciales por medio de la trasformada de Laplace……………………………………………...3

4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales concondiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace………...8

Bibliografia………………..……………………………………………10

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la transformada de Laplace.
Es cada vez más frecuente, que en economía se utilicen técnicas y métodos matemáticos que originalmente surgieron como respuesta a problemas físicos. Una metodología quees usada comúnmente para problemas de ingeniería es la de las transformadas integrales, la transformada de Laplace. Lo que hace útil a esta transformada es la interpretación natural que tiene como el valor presente de un flujo de efectivo.
§1 Preliminares
Sea f : [0, 8) . R una función. Una transformada integral es una relación de la forma

en donde la función f es transformada en otrafunción F por medio de una integral.1 La función F se conoce como la trasformada de f y la función K es el kernel de la transformación. Claramente, la transformada podría no existir. Las transformadas integrales se utilizan para convertir algún problema que involucra a la función f en otro problema, en ocasiones más sencillo, que involucra a F. Adicionalmente, son una herramienta sumamente útil para laresolución de algunas ecuaciones diferenciales.
1 Si el dominio de f es R, entonces el límite inferior podría también ser impropio y ser -8, como es el caso de la transformada de Fourier. 1
La transformada de Laplace2 L[f ](s) es una transformada integral en donde el kernel está dado por e-st de manera que

De este modo, la transformada de Laplace de una función f tiene una interpretacióneconómica evidente: L[f ](s) es el valor presente de un flujo f (t) durante el periodo [0, 8) y con una tasa de descuento igual a s.

Ejemplos
Ej 1.1 Sea f (t) = t, entonces

Esta integral existe siempre y cuando s > 0 e, integrando por partes, se obtiene

De forma semejante,3 si f (t) = tn, n . N.{0}, tenemos que

y esta integral existe para s > 0, tomando el valor

2Nombrada así enhonor del matemático francés del siglo XVIII Pierre S. Laplace.3La prueba puede realizarse fácilmente por inducción.
Ej 1.2 Sea f (t) = eat, entonces

existe para toda s > a y está dada por

Del mismo modo,

que es válida para toda s > -a.
Ej 1.3 Sea c(t) una trayectoria de consumo y u(c(t)) la utilidad que se deriva del mismo, entonces

es el valor presente de la utilidad acumuladaen [0, 8), descontado a una tasa s.
La utilidad de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales se deriva de la siguiente propiedad:

en donde f es una función diferenciable en [0, 8). La demostración es sumamente sencilla utilizando la definición de la transformada e integración por partes. Adicionalmente, la transformada de Laplace es un operador lineal, con locual se cumplen:

para cualesquiera f y g funciones y a, b . R. Finalmente, la asignación f . F es inyectiva, de manera que puede definirse la transformada de Laplace inversa (de la función F) como L-1[F ](t) = f (t). Esta transformada inversa posee también la propiedad de linealidad.

§2 Solución de ecuaciones diferenciales
Nos concentraremos ahora en la solución de ecuaciones diferenciales...