Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuaciones lineales: Una ecuación diferencial lineal de orden n como sigue:
anxdnydxn+an-1xdn-1ydxn-1+…+a1xdydx+a0xy=g(x)
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes sólo son funciones de x y que y y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n=1, la ecuación es lineal y de primer orden.
Una ecuación diferencial de primer orden, de laforma
a1xdydx+a0xy=g(x)
Es una ecuación lineal.

Método de solución: Al dividir ambos lados la ecuación anterior entre el primer coeficiente, a1x se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:
dydx+Pxy=f(x)
Se debe encontrar una solución a esta última ecuación en un intervalo I, sobre el cual las dos funciones P y f sean continuas.
El lector puede probar porsustitución directa que la ecuación diferencial obtenida dydx+Pxy=f(x)
Tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones y=yc+yp, donde a yc se le llama solución complementaria, es una solución de dydx+Pxy=0
A esta ecuación diferencial se le conoce con el nombre ecuación lineal homogénea. Y yp es una solución particular de dydx+Pxy=f(x). Podemos determinar yc por separaciónde variables.
Si reescribimos la ecuación dydx+Pxy=0 como dyy+Pxdx=0 , al integrar y despejar a y obtenemos yc=ce-Pxdx
Por comodidad definiremos yc=cy1(x) , en donde y1=e-Pxdx . Aplicamos de inmediato el hecho que dy1dx Pxy1=0, para determinar a yp.
Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero se convierte a la forma dydx+Pxy=f(x), después hay que identificarP(x) y definir el factor integrante, ePxdx , luego la ecuación obtenida en el primer paso se multiplica por el factor integrante:
ePxdxdydx+PxePxdxy=ePxdxf(x)
Pero, el lado izquierdo de la anterior ecuación es la derivada del producto del factor integrante por la derivada dependiente y; esto es,
ddxePxdxy= ePxdxf(x)
Se integra ambos lados de la ecuación obtenida anteriormente.
Ejemplo:xdydx-4y=exx6
Al dividir la ecuación por x llegamos a la forma dydx-4xy=x5ex, siendo Px= -4x y por tanto el factor integrante corresponde a e-4xdx= x-4
Solucionando la ecuación diferencial se obtiene ddxx-4y= x-4exx6=ddxx-4y=xex , si integramos utilizando el método por partes llegamos a : x-4y=xex-ex+c
Es decir, y=x5ex-x4ex+cx4

Ecuación de Bernoulli: Una ecuación de primer orden se puedeescribir de la forma dydx+Pxy=Qxyn donde Px, Qx son continuas en un intervalo a,b y n es un número real, es una ecuación de Bernoulli.

Ahora la sustitución correspondiente es v=y1-n ⟹ dvdx=1-ny-ndydx ⟹ 11-ndvdx+Pxv=Q(x)

la ecuación resultante corresponde a una lineal, que ya es posible solucionar con los métodos dados en guías anteriores.

Ejemplo:
Demostrar quela ecuación no lineal y´ + P(x)y = Q(x)yn , n 2 puede transformarse en una ecuación lineal usando la sustitución u = y1-n . Usar ese resultado para resolver la ecuación

Solución
a) La sustitución sugerida nos permite expresar:

Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene:

Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n):
(1)
Ésta es una ecuación lineal, que puede serresuelta siguiendo el procedimiento habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresión para y.

b) En la ecuación dada, , tenemos, comparando con la expresión (1), que:
P(x) = 2x-1 ; Q(x) = x-2 ; n = 3 ; y u = y-2 y = u-(1/2)
De esta manera, la ecuación (1) puede escribirse, para este caso particular:
u´ - 4x-1u = -2x-2
El factor integrante,entonces, será: ; y multiplicando la ecuación por esto tendremos:

x-4u´ - 4x-5u = -2x-6 (x-4u)´ = -2x-6 x-4u = (2/5)x-5 + C u = (2/5)x-1 + Cx4
; queda para el estudiante verificarlo.

Ecuación de Ricatti: El conde Jacob Ricatti estudió un caso particular de esta ecuación en 1724, por tanto la ecuación de la forma dydx=Pxy2+Qxy+R(x) es una ecuación de Ricatti generalizada de las...