Ecuaciones diferenciales lineales

TEMA I: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Y COEFICIENTES CONSTANTES

1.

Introducci´n o

Comenzaremos introduciendo algunos ejemplos en los que comparecen ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y coeficientes constantes, para luego pasar a estudiar su resoluci´n. o

1..1

Vibraciones Mec´nicas a

En la vida cotidiana aparacen diversos ejemplos devibraciones mec´nicas: autom´viles al circular por a o suelo irregular, obras arquitect´nicas sometidas a fuerzas exteriores, problemas de aeron´utica. etc. o a Para llegar a entender este tipo de movimientos se suele empezar estudiando un sistema muy sencillo, consistente en un resorte en espiral uno de cuyos extremos est´ fijo en un punto y en el otro a est´ suspendido un cuerpo con una determinadamasa. a

Para el estudio de este sistema recordemos dos leyes f´ ısicas fundamentales. o o • Ley de Hooke: en un sistema resorte-masa la fuerza de restituci´n, opuesta a la direcci´n del alargamiento del resorte, es de magnitud proporcional al valor del alargamiento. Ejemplo: si un cuerpo de 2 Kg de masa estira el resorte 6 cm entonces el resorte ejerce una fuerza 6k con k > 0. Adem´s se puedecalcular k teniendo en cuenta que en la posici´n de a o 1

equilibrio el peso y la fuerza de restituci´n son iguales en m´dulo y de sentidos opuestos, por lo o o 9.81 que 2 × 9.81 = 6k, por tanto k = . 3 • Segunda Ley de Newton: si la masa de un cuerpo es constante, F = m × a. Consideramos x(t) la posici´n en el instante t de la masa, partiendo de que x(0) = 0 es el o punto de equilibrio, esdecir, entendemos x > 0 cuando la posici´n del objeto est´ por debajo de la de o a equilibrio y x < 0 cuando est´ por encima. a Analicemos ahora las distintas fuerzas que act´an sobre la masa m. u • Gravedad: fuerza dirigida hacia abajo de magnitud F1 = m × g. • Fuerza de restituci´n: fuerza hacia arriba ejercida por el resorte y que es proporcional al alargao miento. Si tomamos l como elalargamiento inicial, es decir, en la posici´n de equilibrio, en cada o instante t el alargamiento ser´ (l + x), luego F2 = −k(l + x) = −kl − kx. Pero en la posici´n de a o equilibrio esta fuerza es igual, en magnitud, al peso kl = mg. Por lo tanto F2 = −kx − mg. • Fuerza de amortiguaci´n: fuerza de resistencia del medio. Supondremos que es proporcional a o dx la velocidad de la masa, pero en direcci´nopuesta a ´sta F3 = −b , b > 0; (b ≡ cte de o e dt amortiguaci´n). o • Fuerzas externas: todas las fuerzas externas que act´an sobre la masa (magn´ticas y de otros u e tipos) F4 = f (t). Para simplificar supondremos que s´lo dependen del tiempo y no de la posici´n. o o

La trayectoria de la masa verifica entonces: m dx d2 x = F1 + F2 + F3 + F4 = mg − kx − mg − b + f (t), 2 dt dt

de donde seobtiene la ecuaci´n diferencial de segundo orden o m d2 x dx +b + kx = f (t). 2 dt dt

Seg´n los valores de b y f (t) se distinguen los siguientes casos: u 1. b = 0, f (t) = 0. Sistema libre no amortiguado. Produce el movimiento arm´nico simple. El o objeto no se para. 2. b > 0, f (t) = 0. Sistema libre amortiguado 2

(a) Si b2 < 4mk, movimiento oscilatorio o subamortiguado. El objeto oscila cadavez menos. (b) Si b2 = 4mk, movimiento cr´ ıticamente amortiguado. El objeto no oscila. (c) Si b2 > 4mk, movimiento sobre amortiguado. El objeto no oscila.

En cualquiera de los casos anteriores f (t) ≡ 0 con lo que la ecuaci´n diferencial se reduce a o m d2 x dx +b + kx = 0. 2 dt dt

Si nos planteamos c´mo deben ser las funciones soluci´n de esta ultima ecuaci´n, no ser´ muy o o ´ o ıadescabellado pensar que han de ser exponenciales o trigonom´tricas, pues la ecuaci´n nos dice que no e o debe haber mucha diferencia entre la funci´n x(t) y sus derivadas. o Ejemplos: • • d2 x dx + 25x = 0; +8 2 dt dt d2 x dx + 25x = 0; + 10 dt2 dt x1 (t) = e−4t cos(3t) , x2 (t) = e−4t sen(3t). x1 (t) = e−5t , x2 (t) = te−5t .

2.
2..1

Teor´ general ıa
La ecuaci´n homog´nea o e

Pasemos a...