Ecuaciones diferenciales ordinarias

ÍNDICE


INTRODUCCIÓN 4
JUSTIFICACIÓN 4
OBJETIVO DEL TRABAJO 4
DEFINICIÓN 5
ORDEN Y LINEALIDAD 6
MÉTODOS DE SOLUCIÓN 6
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE SOLUCIONES 6
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 7
ECUACIÓN DE EULER (SEPARACIÓN DE VARIABLES) 8
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 9
EJERCICIOS PROPUESTOS: 11
CONCLUSIONES 12
BIBLIOGRAFÍA YCIBERGRAFÍA 13

ÍNDICE DE ECUACIONES



Ecuación 1 5
Ecuación 2 5
Ecuación 3 5
Ecuación 4 6
Ecuación 5 6
Ecuación 6 6
Ecuación 7 6
Ecuación 8 7
Ecuación 9 7
Ecuación 10 7
Ecuación 11 7
Ecuación 12 7
Ecuación 13 7
Ecuación 14 Ecuación 15 7
Ecuación 16 7
Ecuación 17 Ecuación 18 7
Ecuación 19 8

INTRODUCCIÓN

Las ecuacionesdiferenciales ordinarias nos restringen a calcular solo una variable independiente sobre la cual dependen todas las otras variables pertinentes. Aunque esto con frecuencia es útil, limita los problemas ya que en muchos casos se requieren de dos o más variables independientes.

Cuando se involucran dos o más variables independientes se formulas ecuaciones diferenciales parciales, Esto hace un sistema máscomplejo que el de ecuaciones ordinarias, es muy poco lo que se conoce con respecto de estas, así que será muy breve lo que se dirá de ellas.

JUSTIFICACIÓN

Las ecuaciones diferenciales parciales aparecen por primera vez en la modelación de fenómenos físicos como la propagación del calor y la descripción de membranas ondulatorias. La teoría básica que se desarrolló a partir de estos fenómenosdio cuenta de las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden. Esta teoría es muy poderosa en muchos problemas prácticos de la física pero también es la puerta de entrada a una teoría general de ecuaciones diferenciales parciales, una de las áreas más activas de la matemática, que está en proceso de construcción.

OBJETIVO DEL TRABAJO

Desarrollar un pensamiento matemático, enel que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos así como aprender la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas matemáticas.
Desarrollar habilidades para la comprensión de la demostración de teoremas así como para la obtención de conclusiones sólidas a partir de hipótesis dadas y la capacidad para construir demostraciones.

DEFINICIÓN

Una cantidadfísica puede ser expresada por una función de dos o más variables. Si queremos saber el comportamiento de tal función sin conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una ecuación tal que ésta esté en función de sus derivadas parciales. Existen distintos fenómenos que pueden ser descritos por una misma ecuación.

En general: Una Ecuación en Derivadas Parciales es unarelación de la forma:

Fx,t,u,ux1,..,uxn-1,ut,..,Dαu=0

Donde:
u u(x, t) es una función de la variable independiente

x (x1, …, xn−1) ∈ Rn−1 y de la variable temporal t ∈ R, además de ser la incógnita

α (α1, …, αn) es un multiíndice perteneciente a Zn + ⊂ Rn,

De tal forma que Dαu denota una derivada parcial iterada de u de orden |α| = α1 + α2 +… + αn, en la que derivamos αi vecescon respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj.

Observemos que |α| es el orden de la derivada Dαu. Por definición si α = (0, 0,…, 0) entonces Dαu ≡ u. Podríamos simplemente denotar a t como la variable xn, puesto que es una más de las variables consideradas. Sin embargo, de acuerdo con nuestra concepción del universo, es conveniente distinguir la variable temporal delas demás.

La notación que usaremos será como sigue:

Consideremos una función u que depende solo de dos variables independientes x e y. Usualmente se escribe de la siguiente forma

u = u(x, y)

Lo cual, en este caso, designa a u como una función de las variables independientes y y x.

Así una ecuación diferencial parcial es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o...