Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Pedro Jos´e Arciniega
Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Sangolqu´ı, Ecuador

Introducci´
on
Las palabras Ecuaci´ones diferenciales ciertamente sugieren alguna clase de ecuaci´on que contiene
derivadas y’, y”, ...Para una ecuaci´on cualquiera el objetivo es encontrar el valor de una inc´ognita.
En el caso de lasecuaci´ones diferenciales tenemos una funci´on incognita y = φ(x). Para encontrar
dicha funci´on tenemos varios metodos dependiendo del tipo de la ecuaci´on que tengamos.

Soluci´
on por Integraci´
on
dy
Sea la ecuaci´on diferencial de primer orden dx
= f (x, y), podemos encontrar su solucion por el
metodo de integraci´on directa si f depende solo de la variable y, es decir f (x, y) = g(x). Si tenemos
unaecuaci´on de este tipo lo unico que tenemos que hacer es integrar la funci´on g(x).
Ejemplo:
dy
dx

= 1 + e2x

y = (1 + e2x )dx
y = x + 12 e2x + c

Separaci´
on de variables
Se dice que una ecuaci´on diferencial es separable si la f (x, y) se la puede expresar como un producto g(x)h(y)
Ejemplo:
dy
dx

= y 2 xe3x+4y factorizando...

dy
dx

= (xe3x )(y 2 e4y )

Para resolver estas ecuaci´ones debemosubicar al un lado las x y al otro lado las y, y luego procedemos a integrar a ambos lados de la igualdad.

dy
dx

= g(x)h(y)

h(y)dy = g(x)dx
integramos y tendriamos una solucion de la siguiente manera:
H(y) = G(x) + c.
Ejemplo:
dy(xy-2x+4y-8)-dx(xy+3x-y-3)=0
dy(xy − 2x + 4y − 8) = dx(xy + 3x − y − 3)
dy
dx

=

xy+3x−y−3
xy−2x+4y−8

dy
dx

=

(x−1)(y+3)
(x+4)(y−2)

y−2
dy
y+3

=

x−1
dx
x+4

y −5ln(y + 3) = x − 5ln(x + 4) + c

Ecuaci´
ones Homog´
eneas
Una ecuaci´on se llama homog´enea si al evaluar para tx y ty se cumple que:
f (tx, ty) = tn (f (x, y))
Ejemplo:
2x3 − 5xy 2 + 4y 3
2t3 x3 − 5txt2 y 2 + 4t3 y 3
t3 (2x3 − 5xy + 4y 3 )
Para resolver este tipo de ecuaci´ones realizamos una de las siguientes sustituciones.
•

y
x

= v = y = vx →

dy
dx

dv
= v + x dx

•

x
y

= u = x = uy →dx
dy

= u + y du
dy

Ejemplo:
(x-y)dx+xdy=0
(x − y)dx = −xdy
dy
dx

= − x−y
x

dy
dx
y
x

y
x

= −1 +
=v→

dy
dx

dv
= v + x dx

dv
= −1 + v
v + x dx
dv
x dx
= −1

dv = −

dx
x

v = −ln(x) + c
y
x

= −ln(x) + c

y = −xln(x) + cx

Ecuaci´
ones diferenciales exactas
si M(x,y)dx+N(x,y)dy es una ecuaci´on diferencias; es exacta si y solo si existe una funcion
φ(x, y) = c, tal que φx = M, φy = N
Nota:f(x,y)pertenece a R2
d
d
df (x, y) = dx
f (x, y)dx + dy
f (x, y)dy
Teorema: Si M,N,My , Nx , son continuas, entonces la ecuacion diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
es exacta si se cumple:
My = Nx
dM
= dN
dy
dx
Ejemplo:
[ex sen(y) − 2ysen(x)]dx + [ex cos(y) + 2cos(x)]dy = 0
dM
dy

= ex cos(y) − 2sen(x)

dN
dx

= ex cos(y) − 2sen(x)

Si es exacta
M´
etodo de solucion:
E.D.E ⇒ ∃φ(x, y)y = c
φx = M
φy =N
[ex sen(y) − 2ysen(x)]dx + [ex cos(y) + 2cos(x)]dy = 0
φx = M ⇐⇒

dφ
dx

= ex sen(y) − 2ysen(x)

φ = [ex sen(y) − 2ysen(x)]dx
φ = ex sen(y) + 2ycos(x) + h(y)
dφ
dy

= ex cos(y) + 2cos(x) + h (y)

ex cos(y) + 2cos(x) + h (y) = ex cos(y) + 2cos(x)
h (y) = 0 integrando h’(y)...
h(y) = c
⇒ φ(x, y) = ex sen(y) + 2ycos(x) + c
⇒ ex sen(y) + 2ycos(x) = c
Ejemplo:
2xydx + (x2 − 1)dy = 0
∂M
∂y

∂N
∂x

=2x

φx = M ⇐⇒

∂φ
∂x

= 2 Es exacta

= 2xy

φ = 2xydx
φ = yx2 + h(y)
∂φ
∂y

= x2 + h (y) = x2 − 1

h (y) = −1
h(y) = −y + c
φ = y + x2 − y + c
φ = x2 + c

Ecuaciones Diferenciales No Exactas
Este tipo de ecuaciones se las puede hacer exactas multiplicando a los dos lados por un factor
integrante u(x,y)
Sea la ecuaci´on diferencial:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 Y el factor integrancte u(x,y)
u(x,y)M (x, y)dx + u(x, y)N (x, y)dy = 0
∂
[u(x, y)M (x, y)]
∂y

=

∂
[u(x, y)N (x, y)]
∂x

(uM )y = (uN )x
uy M + uMy = ux + uNx
uy M − ux N = −uMy + uNx
ux N − uy M = u(My − Nx )*
Si u(x, y) depende de solo una variable particular que dependa solo de la variable x:
u(x, y) = u(x)
*ux N = u(My − Nx )
ux =

u(My −Nx )
N

du
dx

u(My −Nx )
N

=

du
u

=

My −Nx
dx
N

ln(u) =

My −Nx
dx
N

My −Nx
dx...