Ecuaciones diferenciales parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

1.

Series de Fourier

Nuestro objetivo es estudiar cuando una funci´n f : R → R puede ser representada en la o forma: +∞ ∑( 1 nπx nπx ) f (x) = a0 + an cos + bn sen . 2 L L n=1 Como veremos m´s adelante, este tipo de expresi´n aparece naturalmente en algunas ecuaa o ciones, tales como la Ecuaci´n del Calor y la Onda. o 1.1. Funciones Peri´dicas. oDefinici´n 1.1.1. Una funci´n f : R → R es llamada peri´dica de per´ o o o ıodo T si f (x + T ) = f (x) para cada x ∈ R. Observaci´n. Note que si T es un per´ o ıodo tambi´n los nT , n ∈ Z lo son. e Z Definici´n 1.1.2. El menor per´odo de una funci´n es llamado per´ o ı o ıodo fundamental. Ejemplo 1.1. (i) f (x) = sen x, T = 2π. (ii) f (x) = x − [x], T = 1. 2L nπx , T = . (iii) f (x) = sen L nverifiquemos (iii). sen ( nπx ) L ) nπ(x + T ) = sen L ( ) nπx nπT = sen + L L (

⇒ 1.2. (1)

nπT 2L = 2π ⇒ T = L n

Coeficientes de Fourier. Supongamos de una manera informal que +∞ a0 ∑ ( nπx nπx ) f (x) = + an cos + bn sen . 2 L L n=1

Se observa que el per´ ıodo de f es 2L. Integrando entre [−L, L] se obtiene que ) ∫ L ∫ L ∫ +∞ ∑( ∫ L a0 L nπx nπx f (x) dx = cos sen dx + an dx + bn dx , 2 −L L L −L−L −L n=1
1

2

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

y as´ ı, 1 a0 = L

∫

L

f (x) dx.
−L

Para encontrar los otros coeficientes de Fourier, resolvemos las siguientes relaciones de ortogonalidad ∫ L nπx mπx cos sen dx = 0, n, m ≥ 1. L L −L { ∫ L nπx mπx L, n = m ≥ 1. cos cos dx = 0, n = m, n, m ≥ 1. L L −L { ∫ L nπx mπx L, n = m ≥ 1. sen sen dx = 0, n = m, n, m ≥ 1. L L −LMultiplicando (1) por cos mπx , m ≥ 1 e integrando se obtiene L ∫ L mπx dx = am L, f (x) cos L −L y analogamente ∫
L

f (x) sen
−L

mπx dx = bm L. L

As´ ı, an 1 = L 1 L ∫ ∫
L

f (x) cos
−L L

nπx dx n ≥ 0, L nπx dx n ≥ 1. L

bn =

f (x) sen
−L

N ota. a20 en la expresi´n (1) es justificada para verificar la f´rmula anterior para an . Ahora o o podemos definir los coeficientes de Fourier:Definici´n 1.2.1. Suponga que f (x) es absolutamente integrable en cada intervalo finito, o los coeficientes de Fourier son definidos por la expresi´n de arriba. o Dada una funci´n absolutamente integrable f : R → R y 2π-peri´dica, nos interesa saber o o si la serie de Fourier +∞ ∑( 1 nπx nπx ) a0 + an cos + bn sen 2 L L n=1 converge a la funci´n f . o Definici´n 1.2.2. Una funci´n f : R → R es llamadaseccionalmente continua si en cao o da intervalo acotado tiene un n´mero finito de discontinuidades (todas de primera especie, u limites laterales existen).

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

3

Ejemplo 1.2. 1. f (x) = sig x. 2. f (x) = x − [x].   x, 0 ≤ x ≤ π, −x, −π ≤ x ≤ 0, 3. f (x) =  2π peri´dica. o 1 4. f (x) = , no es seccionalmente continua. x   1, x ≥ 1, 1 1 , 1 ≤ x < n, 5. f(x) = no es seccionalmente continua.  n n+1 0, x ≤ 0. Definici´n 1.2.3. Una funci´n es seccionalmente diferenciable si es seccionalmente continua o o y su derivada f tambi´n es seccionalmente continua. e { √ 1 − x2 , |x| ≤ 1, Ejemplo 1.3. f (x) = 2 − peri´dica. o Es seccionalmente continua y no seccionalmente diferenciable. Teorema 1.1 (Fourier). Sea f : R → R una funci´n seccionalmentediferenciable de peri´do o o 2L. Entonces la serie de Fourier de f converge en cada punto para 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] . 2 Demostraci´n. posteriori. o Ejemplo 1.4. (a) Calcular la serie de Fourier para la funci´n o   1, 0 ≤ x ≤ π, 0, −π ≤ x < 0, f (x) =  2π peri´dica. o

(b) Use la parte (a) para obtener una expresi´n en serie para π. o Soluci´n. o (a) 2 1 ∑ + sen(2k − 1)x. 2 k=1 (2k − 1)π ( ) (b)En el punto x = π , f ( π ) = 1 se obtiene 2 2
+∞

f (x) ∼

π ∑ (−1)k−1 = 4 2k − 1 k=1
+∞

(Serie de Leibniz).

Proposici´n 1.1. Sea f : R → R una funci´n par que es absolutamente integrable en o o cualquier intervalo acotado, entonces ∫ nπx 2 L f (x) cos dx, y bn = 0. an = L 0 L

4

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Proposici´n 1.2. si f : R → R es una funci´n impar e...