Ecuaciones diferenciales parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estardistribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x.Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferencialesordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la funciónf(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.

Notación y ejemplos
En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:


Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y unpunto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
(notación matemática)
(notación física)
Solución general y solución completa
Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicasesta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobirequiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.
Existencia y unicidad
Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales estálejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas decualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución (Lewy, 1957). Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.
Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

con condiciones inciales

Donde n es un entero. La derivada de u con...