Ecuaciones diferenciales parciales

CAP´
ITULO 1

Ecuaci´n de Laplace y funciones arm´nicas.
o
o
Una funci´n u, dos veces continuamente diferenciable, definida en un dominio U de RN se
o
dice arm´nica si satisface la ecuaci´n deLaplace
o
o
∆u = 0 en U.
Quiz´s la propiedad m´s importante de las funciones arm´nicas es que satisfacen la propiea
a
o
dad de la media que enunciamos en el teorema que sigue.
Teorema 1.0.1.(Propiedad de la Media) Sea u ∈ C 2 (U ), entonces u es arm´nica si y s´lo
o
o
s´
ı
u(x) =

1
|S(x, r)|

u(y)dSr (y)
S(x,r)

para toda esfera tal que S(x, r) ⊂ U .
Aqu´ |S(x, r)| denotael ”´rea” de la esfera S(x, r) y dSr su elemento de ´rea.
ı
a
a
Demostraci´n: Fijemos x ∈ U y definamos la funci´n
o
o
1
R(r) =
u(y)dSr (y).
|S(x, r)| S(x,r)
Como en cap´
ıtulos anterioresse tiene
R(r) =

1
|S(0, 1)|

u(x + ry)dS1 (y).
S(0,1)

Derivando con respecto a r obtenemos
1
1
R (r) =
u(x + ry) · ndS1 (y) =
ˆ
|S(0, 1)| S(0,1)
|S(x, r)|
y usando la f´rmula deGreen
o
(1.1)

R (r) =

1
|S(x, r)|

∆u(y)dy.
B(x,r)

Ahora, si u es arm´nica se tiene R = 0 y por lo tanto
o
R(r) ≡ C te = C,
es decir
C=

1
|S(x, r)|

u(y)dSr (y).
S(x,r)
1u(y) · ndSr (y)
ˆ
S(x,r)

´
´
1. ECUACION DE LAPLACE Y FUNCIONES ARMONICAS.

2

Para determinar la constante C hacemos tender r a 0 y debido a la continuidad de u se
tiene, seg´n unargumento que ya hicimos,
u
1
r→0 |S(x, r)|

C = lim

u(y)dSr (y) = u(x).
S(x,r)

As´ hemos probado que si u es arm´nica, entonces
ı
o
u(x) =

1
|S(x, r)|

u(y)dSr (y).
S(x,r)

Parademostrar el rec´
ıproco supongamos, para una contradicci´n, que existe alg´n x0 ∈ U tal
o
u
que ∆u(x0 ) = 0. Sin p´rdida de la generalidad podemos suponer ∆u(x0 ) > 0. Por la continuidad
e
de ∆uexiste r tal que
∆u(x) > 0 para todo x ∈ B(x0 , r).
Ahora si vale la propiedad de la media se tiene R (r) ≡ 0. Pero de (1.1) tendr´
ıamos
0 = R (r) =

1
|S(x0 , r)|

∆u(y)dy > 0
B(x0 ,r)...