Ecuaciones diferenciales (solucion)

Universidad Aut´noma del Estado de Hidalgo o
Instituto de Ciencias B´sicas e Ingenier´ a ıa ´ Area Acad´mica de Matem´ticas y F´ e a ısica
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Soluci´n del Examen 3 Intersemestral o

1. Usando la definici´n de la transformada de Laplace o
∞

L{f (t)} =
0

f (t)e−st dt

determine la transformada de: a) f (t) = 1 + e4t , Soluci´n: o a) Al sustituir lafunci´n f (t) = 1 + e4t en la definici´n, tenemos o o
∞ ∞

L{f (t)} =
0

(1 + e )e

4t

−st

dt =
0

(e−st + e4te−st )dt

que puede separarse en dos integrales
∞ ∞

L{f (t)} =
0

e

−st

dt +
0

e−(s−4)t dt.

La integral impropia se resuelve al tomar el l´ ımite
P P

L{f (t)} = l´ ım

P →∞

e−st dt + l´ ım
0

P →∞

e−(s−4)t dt
0

e−st L{f (t)} = l´ ım −P →∞ s

P 0

e−(s−4)t + l´ ım − P →∞ s−4

P

= l´ ım −
0 P →∞

e−sP e0 + + s s

+ l´ ım −
P →∞

e−(s−4)P e0 + . s−4 s−4

Al tomar el l´ ımite, los t´rminos e−sP y e−(s−4)P tienden a cero, por lo que la e transformada es L{f (t)} = b) f (t) = sen 2t. 1 1 + . s s−4

Soluci´n: o
∞

L{sen 2t} =
0

sen 2te−st dt.

Esta integral se resuelve por partes
P

L{sen 2t} = l´ım

P →∞

sen 2te−st dt = l´ ım
0

P →∞

−

e−st sen 2t s

P

+
0

2 s

P

e−st cos 2tdt .
0

Al integrar nuevamente por partes tenemos
P P →∞

l´ ım

sen 2te−st dt = l´ ım
0

P →∞

−

e−st sen 2t s

P

−
0

2e−st cos 2t s2

P

−
0

4 s2

P

sen 2te−st dt .
0

Al agrupar las integrales tenemos l´ ım 1+ 4 s2
P

P →∞

sen 2te−st dt = l´ ım0

P →∞

s2 + 4 s2

P

sen 2te−st dt.
0

Al dividir por

s2 + 4 tenemos s2
P

P →∞

l´ ım

sen 2te
0

−st

dt = l´ ım s2 s2 + 4

P →∞

s2 s2 + 4 −
P 0

e−st sen 2t − s
P

P

+
0

+ l´ ım s +4

P →∞

2e−st cos 2t s2 − 1 +4

=
0

= l´ ım

P →∞

−

s2

e−st sen 2t

s2

2e−st cos 2t

P 0

.

Al tomar el l´ ımite, los t´rminos e−sPtienden a cero; el t´rmino con sen(0) = 0 y e e cos(0) = 1, por lo que L{sen 2t} = 2 . +4

s2

2. Utilizando los teoremas de la transformada de Laplace, determine las transformadas de: a) f (t) = (1 − e2t )2 , Soluci´n: o Podemos escribir a f (t) = (1 − e2t )2 = 1 − 2e2t + e4t y tomar la transformada de cada t´rmino. Por lo tanto e F (s) = 1 2 1 − + . s s−2 s−4

b) f (t) = e2t + 4t2 − 5 sen3t. Soluci´n: o Al tomar la transformada de cada sumando tenemos F (s) = 2! 8 1 3 1 15 + 4 2+1 − 5 2 + 3− 2 . = s−2 s s + 32 s−2 s s +9

3. Determine la transformada inversa de Laplace a) L−1 4s + 8 s2 + 16 ,

Soluci´n: o Podemos escribir a la funci´n F (s) como o F (s) = 4s + 8 4s 8 s 4 = 2 + 2 =4 2 +2 2 s2 + 16 s + 16 s + 16 s + 16 s + 16

cuya antitransformada es f (t) = 4 cos 4t + 2 sen4t. b) L−1 s2 + 8s + 16 (s − 1)(s − 2)(s + 4) .

Soluci´n: o La funci´n F (s) se puede descomponer en una suma de fracciones de la forma o F (s) = A B C s2 + 8s + 16 = + + . (s − 1)(s − 2)(s + 4) s−1 s−2 s+4

Al resolver para A, B y C tenemos

A = −5 B = 6 C = 0 por lo que F (s) = cuya antitransformada es f (t) = −5et + 6e2t . 4. Determine la soluci´n de las siguientes ecuacionesdiferenciales, aplicando la transforo mada de Laplace −5 6 + s−1 s−2

a) 2y + 8y = 8 cos 3t con y(0) = 2, Soluci´n: o Al transforma la ecuaci´n diferencial tenemos o 2sY (s) − 2(2) + 8Y (s) = Si dividimos esta ecuaci´n por 2, tendremos o sY (s) − 2 + 4Y (s) = Al resolver para Y (s) tenemos la ecuaci´n o Y (s)(s + 4) = as´ que ı Y (s) = que puede escribirse como Y (s) = A Bs + C 2s2 + 4s + 18 = + 2 . 2 + 9)(s + 4)(s s+4 s +9 2s2 + 4s + 18 (s + 4)(s2 + 9) 4s 4s + 2(s2 + 9) 2s2 + 4s + 18 +2= = s2 + 9 s2 + 9 s2 + 9 4s . s2 + 9 8s . +9

s2

Al resolver para A, B y C tenemos 34 25 16 B = 25 36 C = 25 A = De esta manera 34 16s + 36 34 + = 2 + 9) 25(s + 4) 25(s 25 1 s+4 16 25 s +9 12 25 3 +9

Y (s) =

+

s2

+

s2

por lo que la soluci´n de la ecuaci´n diferencial es o o y(t) = b) y +...