Ecuaciones Polinomicas

Resoluci´n de Ecuaciones Polin´micas de grado n o o

Resoluci´n de Ecuaciones Polin´micas de grado n o o
Hans Coricaza Rivas
Universit´ de Neuchˆtel-Suisse e a Facult´ de Sciences e

abril,30 de 2012

Resoluci´n de Ecuaciones Polin´micas de grado n o o

Contenido

Las ecuaciones polin´micas de grado n o Las ecuaciones lineales Las ecuaciones cuadr´ticas a Las ecuaciones c´bicas uLas ecuaciones cu´rticas a Las ecuaciones polin´micas de grado mayor a 4 o M´todos num´ricos para la resoluci´n de ecuaciones polin´micas de grado mayor a e e o o 2

Resoluci´n de Ecuaciones Polin´micas de grado n o o Las ecuaciones polin´micas de grado n o

Contenido

Las ecuaciones polin´micas de grado n o Las ecuaciones lineales Las ecuaciones cuadr´ticas a Las ecuaciones c´bicas u Lasecuaciones cu´rticas a Las ecuaciones polin´micas de grado mayor a 4 o M´todos num´ricos para la resoluci´n de ecuaciones polin´micas de grado mayor a e e o o 2

Resoluci´n de Ecuaciones Polin´micas de grado n o o Las ecuaciones polin´micas de grado n o Las ecuaciones lineales

El m´todo a seguir para resolver una ecuaci´n lineal pasa por aplicar las e o propiedades algebraicas conocidas enuna ecuaci´n de primer grado dada, o hasta llegar a la forma ax + b = 0,∀a = 0, ∀b ∈ R, una vez conseguida dicha forma se aplican las propriedades: (a) Si m = n ⇒ ∀k ∈ R (b) Si m = n ⇒ ∀k ∈ R m+k =n+k m.k = n.k

Ejemplo
Resolver la ecuaci´n 2x + 5 = 13: o 2x + 5 − 5 = 13 − 5 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 8 ⇔x =4 2

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Dada una ecuaci´n de segundo grado de la forma general o ax 2 + bx + c = 0, ∀a = 0, ∀b, c ∈ R debemos saber que dicha ecuaci´n o tendr´ a (a) Dos soluciones reales diferentes si (b) Una soluci´n real doble si o (c) Ninguna soluci´n real si o := b 2 − 4ac > 0 := b 2 − 4ac = 0 := b 2 − 4ac < 0

Donde es llamado el discriminante. Y hallar las soluciones se har´aplicando los siguientes m´todos seg´n el caso: a e u 1. M´todo 1: Las dos soluciones de la ecuaci´n vienen dadas por la e o f´rmula general o √ −b ± b 2 − 4ac x1,2 = 2a 2. M´todo 2: Por factorizaci´n directa.Aqu´ se trata de factorizar el e o ı polinomio de segundo grado expres´ndolo como producto de dos a factores de primer grado, para luego igualar cada uno de ellos a cero y as´ obtener los valoresde x. ı

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o ı 1. M´todo 3: Por compleci´n de cuadrados.Aqu´ se trata de agregar un e n´mero a ambos lados de la ecuaci´n tal que podamos formar un u o binomio al cuadrado en un lado de la ecuaci´n y luego poder extraer o la ra´ cuadrada para despejar la variable. ız 2.M´todo 4: Por el M´todo de Ruffini (ver m´s adelante) e e a

Ejemplo
Resolver la ecuaci´n cuadr´tica x 2 − 5x + 6 = 0 : o a Aplicando la f´rmula general se obtiene o √ 5 ± (−5)2 − 4(1)(6) 5± 1 5±1 x1,2 = = = 2(1) 2 2 ⇒ x1 = 5+1 5−1 = 3 ∨ x2 = =2 2 2

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La f´rmula que permiteresolver ecuaciones de tercer grado fue o descubierta por Del Ferro, alrededor del a˜o 1500, y posteriormente n hallada de nuevo por Tartaglia y publicada por Cardano en su obra “Ars Magna”.

Teorema
Las ra´ de toda ecuaci´n de tercer grado de la forma general ıces o x 3 + ax 2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R vienen dadas por x= Donde 3b − a2 2a3 − 9ab + 27c q p , q := , := ( )2 + ( )3 3 27 2 3 La ra´cuadrada de ız se escoge arbitrariamente y, fijada ´sta, las ra´ e ıces c´bicas u y v se escogen de modo que p = −3uv (es decir, se escoge una u arbitrariamente y la otra se calcula mediante esta relaci´n). o p :=
3

(1)

−q + 2

+

3

−q − 2

−

a 3

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Teorema...