Ecuaciones

ecuaciones

Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad algebraica que sólo es cierta para algunos valores de las letras.(incógnitas o variables) El resultado de una ecuación es la solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la raíz es correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la raíz. Una ecuación que está en la forma , donde a y b sonconstantes es una ecuación lineal de la variable x. Según los valores de a y b a soluciones ≠ 0 ≠ 0 1 solución única 0 0 Infinitas soluciones 0 ≠ 0 No tiene solución b

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llega a que la igualdad es cierta. Pararesolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Lo primero que debemos hacer es colocar los términos en x en un lado, y los términos independientes en el otro. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:
Si el número esta restando--pasa al otro lado sumando Si el número esta sumando --pasa al otro lado restando Si elnúmero esta multiplicando --pasa al otro lado dividiendo Si el número esta dividiendo--- pasa al otro lado multiplicando

1

ecuaciones Ejemplo: - pásanos las incógnitas al primer miembro y los términos

2x − 2 = 7 − x 2x + x = 7 + 2 3x = 9 9 x= 3 x=3
- independientes al segundo, agrupamos y despejamos

es decir calculamos el

valor de x

Otros ejemplos:

a) x + 7 = 10 − 2 x b)5 x− 3 = 9 − x c) x − 2 + 3x = 2 x + 10 d )5 − 3 x = 4 + 2 x + 1

soluciones a) x = 1 b) x = 2 c) x = 6 d )x = 0

Ejemplos en los que aparecen paréntesis

2(x − 5) − 3( x + 2) − 1 = 4(1 − x ) 2 x − 10 − 3x − 6 − 1 = 4 − 4 x 2 x − 3x + 4 x = 4 + 10 + 6 + 1 3x = 21 21 x= 7 x=3
efectuamos los paréntesis y trabajamos como antes

2

ecuaciones

Ejercicios
a )2 x − 5 = x − 4 b)5 x − 3 − x =2 c)3 x + 5 = x − 1 d ) x + 7 − 3x = 4 − 4 x + 5 e) 4 x − 7 − 2 x = 5 + x 1º f )3 x − 2 = 4 − 2 x − 1 g )3 = 7 x − 3 − 5 x h)2 − 5 x = x + 7 − 11x i )5 x − 8 x + 3 = 10 + 4 x + 7 j )7 x − 2 + 3x = 6 x − 14 a )2( x − 1) + 3(2 x − 5) = 5 x − 1 b) x − 2( x + 3) − (3 − 4 x ) = 0 c)2 x − 3( x − 3) − 2(3 − x ) = 2 x d )5( x − 1) + 3( x − 2 ) = 5( x + 1) e) 4 x − ( 4 + 2 x ) − x + 2 = 2 x 2º f )2(2 x +1) − 4 = 5 − 2 x − 4 g )5 x − 2(3 x − 4 ) − 20 = 5 − −3(5 x + 1) h)3(4 x − 1) + 2 x = 11 + 2(5 x − 3) i )5 − 2( x − 1) + 2 x = −3( x + 1) + 4 j )3 − 2( x + 1) − 2 x − 5 = 4(7 x − 1)

Ecuaciones fraccionarias Ejemplo
2x + 1 −

Quitamos denominadores

x −1 multiplicamos los dos miembros por 3; ponemos = 1 − 2x + 4 3 3(2 x + 1) − ( x − 1) = 3(1 − 2 x + 4 ) paréntesis ,para acordarnos decambiar los signos,

6 x + 3 − x + 1 = 3 − 6 x + 12 6 x − x + 6 x = 3 + 12 − 3 − 1

y efectuamos

11x = 11 11 x= 11 x =1

3

ecuaciones

Otro ejemplo:
x −1 x + 3 + =3 mínimo común múltiplo 6 ,multiplicamos como para. 2 3 reducir a un denominador común 3( x − 1) + 2( x + 3) = 18

3 x − 3 + 2 x + 6 = 18 5 x = 18 − 6 + 3 5 x = 15 15 x= =3 5

Ejercicios:
1) 3x + 1 x − 2 + =9 2 3 2x − 1 x+ 3 − = x−5 5 2

2⎞ ⎛x ⎞ ⎛ 11)4⎜ − 1⎟ − 1 = 3⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 12) x ⎛x ⎞ − 3⎜ + 2 ⎟ = 2( x − 1) 2 ⎝2 ⎠ 2x − 1 x = 3 2

2)

3)

2x − 3 5 + x − = 1− x 7 2
3− x = 5x − 4 2

13)

4) 4 x − 2 −

14)

5x − 4 3x − 1 +3= 2 3 1 (5 − 3x ) 2

5)

3x + 1 x + 2 + =3 2 6

15)(3x − 1) =

6)2 x − 1 −

x x+2 + = x+2 3 5

1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 16)8⎜ x − ⎟ = x + 2⎜1 − ⎟ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ x 1⎞ 17)2 x − 1 =3⎜ − ⎟ + 1 ⎝ 2 3⎠ 18) x − 3 (x + 2) = 2 (x − 1) 5 3

7)5 x −

3x − 2 8x + 4 +1 = +2 2 3 6x − 2 x −1 = x +1− 4 5

8)7 x − 4 −

9)

4x − 2 x + 3 x −1 − +1 = x − 2 − 5 2 2 2x − 4 x−3 − 2+ x = 3− x − 2 2

19)

1 (4 + x ) = 1 + 5 x − 1 3 6

10)

4

ecuaciones
4 (1 − x ) + 3 (x − 1) = 1 (x − 2) 3 4 12 x 1 2 21) − = x − 2 2 3 2 2 1 22) − = x 3 6 3 3 11 23) + = − 1 x 5 x 2 1 2 5...