ecuaciones

CAP´
ITULO 3

o. d

eM

atem
atic

as

APLICACIONES DE LAS
E.D. DE PRIMER ORDEN
´
APLICACIONES GEOMETRICAS

3.1.1.

Trayectorias Isogonales y Ortogonales

y

,D

ept

3.1.

ntio
q

uia

g ( x)

γ

α

x

Un

ive

β

rsid
ad
d

eA

f ( x)

Figura 3.1
En la figura 3.1 se tiene que α = β + γ , luego γ = α − β , donde γ es el
angulo formado porlas tangentes en el punto de intersecci´n.
´
o
49

50 CAP´
ITULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
Definici´n 3.1 (Trayectorias Isogonales).
o
a). Dada una familia de curvas f (x, y, c) = 0, existe otra familia
g (x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo ´ngulo γ . A
a
la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y
g (x, y, c) = 0 es soluci´n dela E.D.:
o
tan γ = tan(α − β ) =

f ′ ( x) − g ′ ( x)
f ′ ( x) − y ′
tan α − tan β
=
=
1 + tan α tan β
1 + f ′ ( x) g ′ ( x)
1 + f ′ ( x) y ′

atem
atic

as

b). En particular, cuando γ = 900 , a g se le llama la familia de trayectorias
ortogonales de f y en este caso g es soluci´n de la E.D.:
o
tan α tan β = f ′ (x)g ′ (x) = −1 = f ′ (x)y ′

ept

o. d

eM

Ejemplo 1.Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia
y (x + c) = 1.
Soluci´n:
o
f ′ ( x) − y ′
=1
tan 450 =
1 + f ′ ( x) y ′

,D

por derivaci´n impl´
o
ıcita:

En la E.D.:

−y
1
y

ive

y
1 + − x+c y ′

=

Un

1=

y
− x+c − y ′

y
dy
=−
dx
x+c

rsid
ad
d

⇒

dy
=0
dx

eA

y + ( x + c)

ntio
q

uia

d
d
(y (x + c)) =
(1)
dx
dx

−y′

1+ −y
1
y

=
y′

−y 2 − y ′
1 − y2y′

1 − y 2 y ′ = −y 2 − y ′ ⇒ y ′ (y 2 − 1) = 1 + y 2
y′ =

y2 + 1
y2 − 1
⇒2
dy = dx
y2 − 1
y +1

´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

1−

2
1 + y2

51

dy = dx

y − 2 tan−1 y = x + K
g (x, y, K ) = 0 = y − 2 tan−1 y − x − K

atem
atic

as

Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y = ceax ,donde c y a son constantes.
2
(Rta.: y + a ln |ay − 1| = x + c)

eM

Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 = cx3 .
(Rta.: 2x2 + 3y 2 = C2 )

ept

o. d

Ejercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hip´rboe
las equil´teras xy = c.
a
(Rta.: x2 − y 2 = C )

uia

,D

13
Ejercicio 4. Determinar la curva que pasa por ( 2 , 2 ) ycorta a cada
miembro√ la familia x2 + y 2 = c2 formando un ´ngulo de 60o .
de
a
√
1
1
(Rta.:
3 tan−1 x = ± 1 ln |x2 + y 2 | + 3 tan−1 3 − 2 ln 5 )
y
2
2

eA

ntio
q

Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
curvas y = C1 x2 .
2
(Rta.: x + y 2 = C )
2

rsid
ad
d

Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia decurvas y = C1 e−x .
2
(Rta.: y2 = x + C )

Un

ive

Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias
ortogonales de la familia de curvas x + y = C1 ey que pasa por (0, 5).
(Rta.: y = 2 − x + 3e−x )

3.1.2.

Problemas de Persecuci´n:
o

Ejemplo 2. Un esquiador acu´tico P localizado en el punto (a, 0) es
a

52 CAP´
ITULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMERORDEN
remolcado por un bote de motor Q localizado en el or´
ıgen y viaja hacia
arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige
en todo momento hacia el bote.
y

as

Q

atem
atic

θ

x
P (x, y )

x

(a, 0)

o. d

eM

Figura 3.2

,D

ept

Soluci´n: del concepto geom´trico de derivada se tiene que:
o
e
√
y ′ = tan θ = − sec2 θ− 1,

uia

pero de la figura 3.2 y teniendo en cuenta que P Q = a, se tiene que

por lo tanto,
sec2

separando variables:

−1 = −

ntio
q

√
a2
a2 − x 2
−1=−
, donde x > 0,
x2
x

rsid
ad
d

y =−

√

√

ive

′

PQ
a
=−
x
x

eA

sec θ = −

a2 − x 2
dx,
x
por medio de la sustituci´n trigonom´trica x = sen α en el lado derecho de
o
e
la E.D., se...