Ecuaciones

Escuela de Educación Técnica N° 6
Prof. Lorena Laugero

Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:
a si a ≥ 0
a =
− a si a < 0
Propiedades
Si a y b son números reales y n es un número entero, entonces:

1 ) a ⋅b = a ⋅ b

2)

3 ) an = a

a
a
=
b
b

n

4 ) a+b ≤ a + b

La noción de valor absoluto surge deuna manera natural en problemas de distancia. En
una recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la distancia es
siempre no negativa, la distancia d entre A y B es d = b − a cuando B está a la derecha de A
(figura a), y d = a − b cuando B está a la izquierda de A (figura b).

En el primer caso, b − a es positiva, de modo que puede escribirse:

d =b−a = b−a
y enel segundo caso, b − a es negativa, de modo que puede escribirse:

d = a − b = −(b − a) = b − a
Por lo tanto, independientemente de si B está a la derecha o a la izquierda de A, la
distancia d entre A y B es:

d = b−a
Para cualquier número real b puede escribirse:

b = b−0
Por lo tanto, el valor absoluto de un número b pude interpretarse geométricamente como
su distancia desde el origensobre una recta coordenada.
Matemática – 3º año
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Por ejemplo, si b = 9 , entonces b está a 9 unidades del origen, es decir b = 9 ó b = −9 .

Ejemplo 1: Resolver x − 3 = 4
La solución desde el punto de vista geométrico consta de todas las x que están a 4 unidades
del punto 3. Hay dos de estos valores de x, x = 7 y x = −1.

Desde el punto de vista algebraico, dependiendo de si x − 3 es positiva o negativa, la
ecuación puede escribirse:
x−3= 4

ó

x − 3 = −4

Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene, x = 7 y x = −1 que concuerda con la
solución obtenida geométricamente.

Ejemplo 2: Resolver x − 3 < 4
La solución consta de todas las x cuyas distancias al punto 3 sean menores que 4 unidades,
esdecir, de todas las x que satisfacen:
−1 < x < 7
Este es el intervalo ]− 1,7[ que se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo 3: Resolver x + 4 > 2
La desigualdad dada puede escribirse:

x − (−4) > 2
Por lo tanto, la solución consta de todas las x cuyas distancias de – 4 sean mayores que 2
unidades. Este es el conjunto: ]− ∞,−6[ ∪ ]− 2,+∞[ , el cual se muestra en la figura.

Matemática – 3ºaño
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Propiedades
Para cualquier número real x y cualquier número positivo k:

1 ) x < k ⇔ −k < x < k
2 ) x > k ⇔ x < −k ∨ x > k

Actividades
1 ) Hallar en ℜ, el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones.
Representar gráficamente el conjunto solución
a) −

1
x +3 ≥1
4

b ) 7x −

c)

f ) x< x +1

g)

− 3x + 1
>1
2

d) − −

6
x − 1 ≤ −2
5

2x + 3  1 
≤ − 
−5
 2

h)

3
x−2

−1

3x + 7 3
> − 27
4

j ) x2 − 3 ≤ 2

Inecuaciones polinómicas de orden superior
Las inecuaciones polinómicas de segundo grado con una incógnita son desigualdades de la
forma:
P( x) > 0 ó P( x) ≥ 0
P( x) < 0 ó P( x) ≤ 0
siendo P (x) un polinomio de segundo grado.Veremos cómo se puede encontrar el conjunto solución de esta clase de inecuaciones.

Ejemplo 1:
x2 − x − 6 > 0
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Encontramos las raíces del polinomio:
x2 − x − 6 = 0
x=3

x = −2

Factorizamos el trinomio:
x 2 − x − 6 = ( x − 3) ⋅ ( x + 2)
La inecuación puede expresarse:
( x − 3) ⋅ ( x + 2) > 0
Paraque este producto sea mayor que cero ( positivo ) ambos factores deben tener el
mismo signo.

x − 3 > 0
I. 
x + 2 > 0

x − 3 < 0
II . 
x + 2 < 0

ó

Consideremos el primer caso:

x − 3 > 0

x + 2 > 0

⇒
⇒

x > 3

 x > −2

La solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, es
decir el conjunto intersección.

S I = ]3,+∞[...