ecuaciones

Es una ecuación de variables separables, pasando a un lado la función de x y a otro la de y tenemos
[senx/(1+cosx)]dx = dy/[e^(-y)+1]
E integramos cada lado por separado y los igualamos.
El ladoizquierdo es casi directo, el numerador es la derivada del denominador salvo por el signo, eso es la derivada del logaritmo neperiano salvo el signo
-ln(1+cosx)
Fíjate que se trata de la integraldel tipo f '(x)/f(x) ya que la derivada de 1+cos(x) es -sin(x). Y como siempre la integral de f '(x)/f(x) es ln(f(x)) + C siendo en este caso f(x) = 1+cos(x).
La intregral derecha puede parecercomplicada, pero no lo será si modificamos la expresión de la función
∫dye−y+1=∫dy1ey+1=∫dy1+eyey=∫eydx1+ey
  
 
 Y esa integral es obvia, es ln(1+e^y)
luego tenemos
-ln(1+cosx) = ln(1+e^y) + ln(C)
Yapuse ln(C) en vez de C y usando propiedades de los logaritmos tendremos
ln (1/(1+cosx) = ln[C(1+e^y)]
1/(1+cosx) = C(1+e^y)
Hagamos el cambio C = 1/C por comodidad
C/(1+cosx) = 1+e^y
e^y = -1 +C/(1+cosx)
y = ln|-1+C/(1+cosx)|
 ∫ dy / ((e^-y)+1)

cambio de variable u = -y du = -dy

-∫ du / ((e^u)+1)

cambio de variable s = e^u ds = e^u*du

-∫ ds / [s*(s+1)]

mediante fraccionessimples obtenemos

-∫ [1/s - 1/(s+1)]ds = -[log(s) - log(s+1)] = log(s+1) -log(s)

ahora volvemos atrás por los cambios de variables

log(e^u + 1) - log(e^u)

log(e^-y + 1) - log(e^-y)

log(1+ e^y)


log = logaritmo neperiano


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Cómo integrar 1 / (sqrt (4 - y ^ 2)) dy?


Tenga en cuenta que la derivada de arc sen (x) = 1/sqrt (1-x ^ 2). 

Por lo tanto, si se lo permites y =2u, entonces y ^ 2 = 4u ^ 2, dy = 2 du. 
El integrando se vuelve 
2 * (1/sqrt (4 - 4u ^ 2)) du 
Factor a las 4 de la raíz cuadrada, y luego tomar la raíz cuadrada, se obtiene 
2 * (1 / (2sqrt(1-u ^ 2))) du 
Los 2s en el numerador y el denominador será reducir el abandono 
1 / (sqrt (1 - u ^ 2)) du. La integral es arcsen (u) + 1. 

Rendimiento Back-sustitución: arcsin (y / 2) + C...