Ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Mirta González de RIBA - Rosa Longas de MALLAR
Universidad Nacional de Cuyo
mgonzale@fcemail.uncu.edu.ar – rlongas@fcemail.uncu.edu.ar



Recordemos que una ecuación diferencial (ED) es una igualdad matemática en la cual se vincula la o las variables independientes con la variable dependiente o función y sus sucesivas derivadas. En cursos básicosde Cálculo generalmente se estudian ecuaciones diferenciales tales que, en una sola ecuación, se expresa la variación de una variable dependiente, en función de una sola variable independiente. Este análisis es adecuado para algunos modelos dinámicos, pero hay otros que necesitan analizar el comportamiento de dos o más variables dependientes. Para ello es necesario plantear varias ecuacionessimultáneas, que forman un sistema de ecuaciones diferenciales (SED).
Además siempre existe la posibilidad de resolver cualquier ecuación diferencial ordinaria de orden n transformándola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
Abordaremos el problema de encontrar solución a estas ecuaciones diferenciales simultáneas, así como en Álgebra se resuelven ecuaciones algebraicassimultáneas. Existen distintos métodos de resolución y la mayor o menor dificultad de los mismos depende de la estructura lineal o no lineal de las ecuaciones.

SISTEMAS LINEALES
Como caso particular de los SED nos referiremos a un esquema especial que son los Lineales, pues para ellos existen estudios y métodos de resolución más precisos y sencillos. Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales(SEDL) tiene la forma:
(1)
donde son funciones continuas en un cierto intervalo cerrado [a,b]. Si para todo i las funciones pi(t) son idénticamente nulas, el sistema se denomina Homogéneo (SEDLH); en caso contrario se denomina Inhomogéneo o Completo (SEDLC). Por razones de simplicidad se ha expresado un sistema de dos ecuaciones, pero el estudio deberá extenderse a n ecuaciones con nfunciones incógnitas.
A estos sistemas se aplica una teoría muy similar a la de las ecuaciones lineales, especialmente aplicada cuando se resuelven ecuaciones lineales de orden superior (SIMMONS -1993):
 Teorema de existencia y unicidad
 Teoremas para la solución del sistema homogéneo:
Teorema 1: Si el SEDLH tiene dos soluciones sobre [a, b] entonces la combinación lineal de las mismas tambiénes solución
x = C1 x1(t) + C2 x2(t) y y = C1 y1(t) + C2 y2(t) (2)
Teorema 2: Si el wronskiano de las soluciones no se anula en [a, b], entonces (2) es la solución general del SEDLH.
 Teorema para la solución del sistema completo:
Dado un SEDLC como el (1), si (2) es la solución del sistema homogéneo, llamada también solución complementaria, y x = xp(t) ;y = yp(t) es cualquier solución particular del mismo, entonces la solución general del (1) en [a, b] es:
x = C1 x1(t) + C2 x2(t) + xp(t)
y = C1 y1(t) + C2 y2(t) + yp(t)

Sistema Lineal Homogéneo con coeficientes constantes
(4)
El método que aplicaremos consiste en construir un par de soluciones linealmente independientes para encontrar lasolución general según los teoremas citados anteriormente. Observando las expresiones del sistema podemos analizar que, cada una de ellas, expresa que la derivada de una función es una combinación lineal de las funciones incógnitas. Esto nos recuerda a la función exponencial pues ella se repite, salvo una constante, en la derivación. Entonces proponemos soluciones del tipo:
x = A emt ; y = B emt(5)
derivando, sustituyendo en (4), y como emt se puede dividir ambos miembros y resulta el sistema algebraico:
(a – m) A + b B = 0
c A + (d – m) B = 0
La solución trivial de este sistema A = B = 0 no interesa, no es de ninguna utilidad. Por lo tanto se debe buscar soluciones no triviales. Para ello debemos exigir que el determinante de los coeficientes sea nulo. Resulta:
m2...