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Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Completando el Cuadrado

Objetivo de Aprendizaje
· Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

Introducción

Hay veces que una [ecuación cuadrática] es imposible de factorizar. Para resolver ese tipo de ecuaciones cuadráticas, son necesarias otras estrategias. Completar el cuadrado es una de ellas. Convierte un polinomio en untrinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil de graficar y resolver.

Creando un Cuadrado

"Completar el Cuadrado" consiste exactamente en eso — tomar algo que probablemente no es un cuadrado y convertirlo en uno. Podemos ilustrar esta idea usando el modelo de área de un binomio x2 + bx:



En este ejemplo, el área de todo el rectángulo está dada por x(x + b).

Ahora vamos aconvertir este rectángulo en un cuadrado. Primero, dividimos el rectángulo rojo con área bx en dos rectángulos iguales cada uno con área . Luego rotamos y cambiamos de posición uno de ellos. No hemos cambiado el tamaño del área roja — sigue siendo bx.




Los rectángulos rojos ahora forman dos lados de un cuadrado, mostrado en blanco. El área de ese cuadrado es la longitud de los rectángulosrojos elevada al cuadrado .

Aquí viene lo interesante — ¿puedes ver que cuando el cuadrado blando es sumado a las regiones azul y rojas, el área total también es un cuadrado? En otras palabras, ¡hemos "completado el cuadrado"! Al sumar la cantidad al binomio original, hemos creado un cuadrado, un cuadrado con lados :


Nota que el área de este cuadrado puede ser escrita de dos maneras, como, y como .


Completando el Cuadrado

Para completar el cuadrado en una expresión de la forma x2 + bx, sumar . Y la expresión se vuelve .



Veamos un ejemplo usando números en lugar del modelo de área. Completaremos el cuadrado del binomio . Para hacer eso, necesitamos encontrar un valor de c tal que sea un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo
Problema
Encontrar c tal quees un trinomio cuadrado perfecto.





Para completar el cuadrado, sumar .

b = 8, entonces





Simplificar
Solución
c = 16


Nuestro trinomio cuadrado perfecto es . También lo podemos escribir como el cuadrado de un binomio: .

Nota que es siempre positivo, ya que es el cuadrado de un número. Cuando completamos el cuadrado, siempre estamos sumando un valorpositivo.

Encuentra el valor de c que vuelve un trinomio cuadrado perfecto usando la técnica de completar el cuadrado. Luego escribe la expresión como el cuadrado de un binomio.

A) c = 12;
B) c = 36;
C) c = -12;
D) c = 36;

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Resolviendo una Ecuación Cuadrática Completando el Cuadrado

Cuando resolvemos una ecuación cuadrática que ha sidoigualada a cero, como o , encontramos los valores de x que hacen que la ecuación sea válida. Cuando empezamos con una función cuadrática, como , encontramos las raíces de una ecuación cuadrática al igualar y a cero y resolver. Esto se llama "resolver la cuadrática." Las raíces de están localizadas en la gráfica donde la parábola cruza o toca el eje x. También se les llama las intersecciones en xde la gráfica. Para ecuaciones cuadráticas que pueden ser factorizadas, como o , encontramos las raíces igualando la ecuación a cero y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar cualquier coordenada x posible.

Pero, ¿cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática que no puede ser factorizada? Existen muchas ecuaciones cuadráticas que no pueden ser factorizadas y quede todas maneras tienen soluciones o raíces. Podemos usar la técnica de completar el cuadrado para resolver estas ecuaciones cuadráticas. Aquí hay un ejemplo:

Ejemplo

Problema

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática







Las raíces son las intersecciones en x, donde la gráfica cruza el eje x. El valor de y para cualquier punto en el eje x es 0, entonces...