Ecuaciones

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta clase, es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama eliminación. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación másutilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta. MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN. Ejemplo 3x + 5 y = 7......... 1 Resolver el sistema 2 x − y = −4.......... 2 Despejamos cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x en ambas ecuaciones. 7 − 5y Despejamos x en 1: 3 x + 5 y = 7 ∴ x = 3 −4+ y Despejamos x en 2: 2 x − y = −4 ∴ x = 2 Ahora igualamos entre si los dos valores de x quehemos obtenido: 7 − 5y − 4 + y = 3 2 Ahora ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; se eliminó la x. Resolvemos esta ecuación para obtener el valor de y. 2(7 − 5 y ) = 3(−4 + y ) Para encontrar el valor de x, se sustituye el valor de y en la ecuación más sencilla, obteniéndose: 14 − 10 y = −12 + 3 y 3x + 5 y = 7 − 10 y − 3 y = −12 − 14 3 x + 5(2) = 7 − 13 y = −26 3 x + 10 = 7 − 26 y= 3 x = 7− 10 − 13 −3 y=2 x= = −1 3 Resultado x= –1 y =2 Para verificar si estos valores son correctos se deberá sustituir x= –1, y = 2 en las dos ecuaciones, ambas se convierten en identidad. 3x + 5 y = 7...........1 2 x − y = −4..........2 3(−1) + 5(2) = 7 2(−1) − (2) = −4

− 3 + 10 = 7 7=7

− 2 − 2 = −4 − 4 = −4

MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN.
3x + 4 y = 8........ 1 8 x − 9 y =−77.......... 2 Despejamos cualquiera de las incógnitas; por ejemplo x en una de las ecuaciones. Despejamos x en la ecuación 1. 8 − 4y Despejamos x en 1; 3 x + 4 y = 8 ∴ x = Este valor de x se sustituye en la ecuación 2. 3 8 x − 9 y = −77..........2

Ejemplo

Resolver el sistema

8 − 4y ) − 9 y = −77 3 Ahora ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolvemos esta ecuación: 8(
8− 4y  8  − 9 y = −77  3  64 32 y − − 9 y = −77 3 3 32 y 64 − − 9 y = −77 − 3 3 59 y 295 − =− 3 3 − 295 y= − 59 y=5

Para obtener x sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en 1 se tiene: 3x + 4 y = 8........1 3x + 4(5) = 8 3x + 20 = 8 8 − 20 x= 3 x = −4 Para verificar si estos valores son correctos se deberá sustituir x= –4, y=5 en las dos ecuaciones, ambas seconvierten en identidad.

MÉTODO DE SUMA O RESTA.
Resolver el sistema
6 x − 5 y = −3........ 1 2 x + 3 y = 13.......... 2 En este método se deberán hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas, esto con la finalidad de eliminar dicha incógnita. Para este caso se observa que, si a la ecuación 2 la multiplicamos por -3 se podrán igualar y eliminar los coeficientes de la incógnita x,por lo que nos queda: 6 x − 5 y = −3........1

− 6 x − 9 y = −39.......... 2 -14y=-42 − 42 y= =3 − 14 y=3

Para encontrar el valor de x se sustituye y=3 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la ecuación 2, se tiene: 2 x + 3 y = 13..........2
2 x + 3(3) = 13 2 x + 9 = 13 13 − 9 2 x=2 Para verificar si estos valores son correctos se deberá sustituir x=2, y=3 en las dosecuaciones, ambas se convierten en identidad. 6 x − 5 y = −3........1 2 x + 3 y = 13..........2 x=

6(2) − 5(3) = −3 12 − 15 = −3 − 3 = −3

2(2) + 3(3) = 13 4 + 9 = 13 13 = 13

MÉTODO GRÁFICO El método gráfico para la solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se realiza trazando las dos rectas en un mismo plano, con esto se determina la intersección (punto donde secruzan las rectas) que es la solución del sistema de ecuaciones. Como bien dice el principio de Euclides: “Por dos puntos pasa una y sólo una recta”, se puede trazar una recta determinando dos puntos que pertenezcan a la misma trazando su unión y continuación.

Pasos a seguir para graficar una recta. a) De la ecuación original despejar “y”. b) Dar a “x” dos valores distintos y sustituirlos en...