Edos

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

GENERALIDADES.
1. Introducción.
Muchos problemas de la Física, la Ingeniería y muchas otras ramas del saber humano conducen de forma natural a ecuaciones diferenciales: problemas de la Mecánica, problemas dinámicos, problemas de estructuras, problemas de circuitos eléctricos y electromagnetismo, modelospoblacionales, etc., etc. En el caso más sencillo se desea obtener una función y = y(x) en un intervalo [a,b], cuya derivada y’(x) es conocida como función de x. Es decir, se trata del problema Hallar y(x) : y’(x) = f(x), x ∈[a,b] (P1)

Del cálculo elemental se sabe que si yp (x) es una solución de (P1), también lo es y(x) = yp(x) + k, para cada real k. Las técnicas elementales de integraciónpermiten obtener en algunos casos una primitiva de f(x) , que posibilita la construcción de la solución general de la ecuación diferencial
y ( x) =

ò f ( x )dx + k
x

y conociendo el valor de y en algún punto, por ejemplo a, puede determinarse una de entre las infinitas soluciones del problema
y ( x ) = y (a ) +

ò f (t )dt
a

Sin embargo, no siempre es posible, con los métodoselementales, obtener una primitiva de f(x). Este es el caso de f(x) = senx/x, entre otros. La teoría del Cálculo Integral asegura, no obstante, la existencia de primitivas para esta función. El problema es que no se conocen expresiones, ‘fórmulas’, al menos sencillas, para expresar tales primitivas. Pero la ‘sencillez’ es un concepto relativo. Hay personas para las que todo lo que no son sumas y restas noes sencillo (también éste es el caso del ordenador) . Otras pueden operar con productos, divisiones, potencias, radicales. Otras, con funciones transcendentes.
sen x dx no es una fórmula sencilla para quien no conoce la operación de integrar. x x sen t Sin embargo, para un ordenador debidamente instruido, el cálculo de y ( x ) = dt para un x ∈[a,b] a t no representa más dificultad que el cálculode senx/x. Quizá, en todo caso, deba realizar más sumas y restas para obtener y(x), que para obtener senx/x.

Realmente y ( x ) =

ò

b

a

ò

Por otra parte, el conocimiento de que senx/x es la derivada de cierta función ya proporciona, si se utilizan ideas adecuadas, una información importante sobre dicha función. Así que la necesidad de diseñar métodos numéricos e instruiradecuadamente al ordenador para que resuelva de manera aproximada tales problemas es obvia; pero aplicar métodos numéricos sin un análisis previo del problema puede resultar estéril. Avancemos un poco más en dificultad. La mayor parte de ecuaciones diferenciales ordinarias, las más interesantes, no expresan la derivada de y(x) en función sólo de x, sino también en función de la propia función incógnitay(x). Así, un problema más interesante que P1, a la vez que menos sencillo, es Hallar y(x) : y’(x) = f(x,y), x ∈ [a,b] (P2) Como para el caso de (P1), bajo ciertos requerimientos, puede probarse que existen infinitas funciones que satisfacen la ecuación diferencial y’ = f(x,y), aunque ahora no difieren necesariamente sólo en una constante; y con información adicional, como el valor de y en a, esposible, a veces, determinar una de ellas. Obviamente, el proceso de obtención de esas soluciones, si es posible diseñarlo, será mucho más 2

complejo que el de la simple integración. De hecho en la integración de una ecuación diferencial, cuando se puede llevar a cabo de manera directa-, se realizan una o varias integraciones elementales. En consecuencia, no cabe esperar un método universal desolución de ecuaciones diferenciales. Por tanto, es imprescindible disponer de métodos numéricos adecuados, pero, repetimos de nuevo, el análisis previo al problema es el mejor, a veces único, punto de partida. La presente práctica se dedica a proporcionar un primer recorrido por los métodos de análisis y numéricos más elementales. Analicemos previamente cómo se presentan los problemas que modelizan...